Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.4.18.md
+23 −30
| @@ -1,38 +1,31 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.4.18.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.4.18.$ Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону $x_1 = B \cos ( \omega_0 t + \varphi) + A \cos( \omega t ), \ x_2 = B \cos( \omega_0 t + \varphi ) - A \cos( \omega t )$ . Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика $m$. | ||
| ### Решение | |||
| − | \begin{gather*} | ||
| − | \text{Общее решение представляет собой суперпозицию } \\ | ||
| − | \text{ двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная)} | ||
| − | \\ | ||
| − | \text{ 1) Симметричная мода (частота } \omega_0): | ||
| − | \text{ Маятники движутся синфазно,} \\ x_{1}= x_{2}= B \cos(\omega_0 t + \varphi ) \text{ - пружина при этом не деформируется, } \\ | ||
| − | \text{значит её жесткость не влияет на частоту, и} \ \omega_0 \text{ — это просто частота } \\ | ||
| − | \text{одиночного маятника:} | ||
| − | \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} . \\ | ||
| − | \\ | ||
| − | 2) \text{ Антисимметричная мода (частота } \omega): \text{Маятники движутся в } \\ | ||
| − | \text{противофазе,} \ x_1 = x_2 = A \cos( \omega t ) \ \text{ - пружина растягивается /} \\ | ||
| − | \text{сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе.} \\ | ||
| − | \\ | ||
| − | \text{Уравнение движения для двух одинаковых маятников ( масса m, и длина l),} \\ | ||
| − | \text{связанных пружиной жёсткости k (точки крепления пружины совершают } \\ | ||
| − | \text{такие же перемещения } \ x_1 , x_2 , \text{ что и грузы) :} \\ | ||
| − | \\ | ||
| − | m \ddot{x}_1 = - \frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2), \ \ \ m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1) \\ | ||
| − | \\ | ||
| − | \text{Подставим антисимметричную моду} \ x_1 = -x_2 = x : \\ | ||
| − | \\ | ||
| − | m \ddot{x} = - \frac{mg}{l} x - 2 k x \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m} \\ | ||
| − | \\ | ||
| − | \text{Отсюда жёсткость пружины : } \\ | ||
| − | \\ | ||
| − | k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} \ | ||
| − | \end{gather*} | ||
| + | Общее решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная). | ||
| + | |||
| + | 1) Симметричная мода (частота $\omega_0$): | ||
| + | Маятники движутся синфазно, $x_1 = x_2 = B \cos(\omega_0 t + \varphi)$ — пружина при этом не деформируется, значит её жесткость не влияет на частоту, и $\omega_0$ — это просто частота одиночного маятника: | ||
| + | $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$ | ||
| + | |||
| + | 2) Антисимметричная мода (частота $\omega$): | ||
| + | Маятники движутся в противофазе, $x_1 = -x_2 = A \cos(\omega t)$ — пружина растягивается / сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе. | ||
| + | |||
| + | Уравнение движения для двух одинаковых маятников (масса $m$ и длина $l$), связанных пружиной жёсткости $k$ (точки крепления пружины совершают такие же перемещения $x_1, x_2$, что и грузы): | ||
| + | $$ \ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$ | ||
| + | $$m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1)$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим антисимметричную моду $x_1 = -x_2 = x$: | ||
| + | |||
| + | $$m \ddot{x} = -\frac{mg}{l} x - 2kx \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда жёсткость пружины: | ||
| + | $$k = \frac{m(\omega^2 - \omega_0^2)}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| + | $$[ k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} ]$$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -1,38 +1,31 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.4.18.$ [Вставьте условие задачи] | $3.4.18.$ Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону $x_1 = B \cos ( \omega_0 t + \varphi) + A \cos( \omega t ), \ x_2 = B \cos( \omega_0 t + \varphi ) - A \cos( \omega t )$ . Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика $m$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| \begin{gather*} | |||
| \text{Общее решение представляет собой суперпозицию } \\ | |||
| \text{ двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная)} | |||
| \\ | |||
| \text{ 1) Симметричная мода (частота } \omega_0): | |||
| \text{ Маятники движутся синфазно,} \\ x_{1}= x_{2}= B \cos(\omega_0 t + \varphi ) \text{ - пружина при этом не деформируется, } \\ | |||
| \text{значит её жесткость не влияет на частоту, и} \ \omega_0 \text{ — это просто частота } \\ | |||
| \text{одиночного маятника:} | |||
| \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} . \\ | |||
| \\ | |||
| 2) \text{ Антисимметричная мода (частота } \omega): \text{Маятники движутся в } \\ | |||
| \text{противофазе,} \ x_1 = x_2 = A \cos( \omega t ) \ \text{ - пружина растягивается /} \\ | |||
| \text{сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе.} \\ | |||
| \\ | |||
| \text{Уравнение движения для двух одинаковых маятников ( масса m, и длина l),} \\ | |||
| \text{связанных пружиной жёсткости k (точки крепления пружины совершают } \\ | |||
| \text{такие же перемещения } \ x_1 , x_2 , \text{ что и грузы) :} \\ | |||
| \\ | |||
| m \ddot{x}_1 = - \frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2), \ \ \ m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1) \\ | |||
| \\ | |||
| \text{Подставим антисимметричную моду} \ x_1 = -x_2 = x : \\ | |||
| \\ | |||
| m \ddot{x} = - \frac{mg}{l} x - 2 k x \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m} \\ | |||
| \\ | |||
| \text{Отсюда жёсткость пружины : } \\ | |||
| \\ | |||
| k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} \ | |||
| \end{gather*} | |||
| Общее решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная). | |||
| 1) Симметричная мода (частота $\omega_0$): | |||
| Маятники движутся синфазно, $x_1 = x_2 = B \cos(\omega_0 t + \varphi)$ — пружина при этом не деформируется, значит её жесткость не влияет на частоту, и $\omega_0$ — это просто частота одиночного маятника: | |||
| $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$ | |||
| 2) Антисимметричная мода (частота $\omega$): | |||
| Маятники движутся в противофазе, $x_1 = -x_2 = A \cos(\omega t)$ — пружина растягивается / сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе. | |||
| Уравнение движения для двух одинаковых маятников (масса $m$ и длина $l$), связанных пружиной жёсткости $k$ (точки крепления пружины совершают такие же перемещения $x_1, x_2$, что и грузы): | |||
| $$ \ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$ | |||
| $$m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1)$$ | |||
| Подставим антисимметричную моду $x_1 = -x_2 = x$: | |||
| $$m \ddot{x} = -\frac{mg}{l} x - 2kx \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m}$$ | |||
| Отсюда жёсткость пружины: | |||
| $$k = \frac{m(\omega^2 - \omega_0^2)}{2}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$[ k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} ]$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||