Новое решение

marthasg._ правка от
Посмотреть решение История
правка #20136 предыдущая #20135 ← раньше позже →
ru/3.4.18.md +38 −0
@@ -0,0 +1,38 @@
+### Условие
+
+$3.4.18.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+\begin{gather*}
+\text{Общее решение представляет собой суперпозицию } \\
+\text{ двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная)}
+\\
+\text{ 1) Симметричная мода (частота } \omega_0):
+\text{ Маятники движутся синфазно,} \\ x_{1}= x_{2}= B \cos(\omega_0 t + \varphi ) \text{ - пружина при этом не деформируется, } \\
+\text{значит её жесткость не влияет на частоту, и} \ \omega_0 \text{ — это просто частота } \\
+\text{одиночного маятника:}
+\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} . \\
+\\
+2) \text{ Антисимметричная мода (частота } \omega): \text{Маятники движутся в } \\
+\text{противофазе,} \ x_1 = x_2 = A \cos( \omega t ) \ \text{ - пружина растягивается /} \\
+\text{сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе.} \\
+\\
+\text{Уравнение движения для двух одинаковых маятников ( масса m, и длина l),} \\
+\text{связанных пружиной жёсткости k (точки крепления пружины совершают } \\
+\text{такие же перемещения } \ x_1 , x_2 , \text{ что и грузы) :} \\
+\\
+m \ddot{x}_1 = - \frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2), \ \ \ m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1) \\
+\\
+\text{Подставим антисимметричную моду} \ x_1 = -x_2 = x : \\
+\\
+m \ddot{x} = - \frac{mg}{l} x - 2 k x \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m} \\
+\\
+\text{Отсюда жёсткость пружины : } \\
+\\
+k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} \
+\end{gather*}
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]