Решение

Общее решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная).

1. Симметричная мода (частота $\omega_0$):
   Маятники движутся синфазно, $x_1 = x_2 = B \cos(\omega_0 t + \varphi)$ — пружина при этом не деформируется, значит её жесткость не влияет на частоту, и $\omega_0$ — это просто частота одиночного маятника:
   $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$

2. Антисимметричная мода (частота $\omega$):
   Маятники движутся в противофазе, $x_1 = -x_2 = A \cos(\omega t)$ — пружина растягивается / сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе.

Уравнение движения для двух одинаковых маятников (масса $m$ и длина $l$), связанных пружиной жёсткости $k$ (точки крепления пружины совершают такие же перемещения $x_1, x_2$, что и грузы):
$$m \ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$
$$m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1)$$

Подставим антисимметричную моду $x_1 = -x_2 = x$:

$$m \ddot{x} = -\frac{mg}{l} x - 2kx \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m}$$

Отсюда жёсткость пружины:
$$k = \frac{m(\omega^2 - \omega_0^2)}{2}$$