Решение

\begin{gather*} \text{Общее решение представляет собой суперпозицию } \ \text{ двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная)} \ \text{ 1) Симметричная мода (частота } \omega_0): \text{ Маятники движутся синфазно,} \ x_{1}= x_{2}= B \cos(\omega_0 t + \varphi ) \text{ - пружина при этом не деформируется, } \ \text{значит её жесткость не влияет на частоту, и} \ \omega_0 \text{ — это просто частота } \ \text{одиночного маятника:} \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} . \ \ 2) \text{ Антисимметричная мода (частота } \omega): \text{Маятники движутся в } \ \text{противофазе,} \ x_1 = x_2 = A \cos( \omega t ) \ \text{ - пружина растягивается /} \ \text{сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе.} \ \ \text{Уравнение движения для двух одинаковых маятников ( масса m, и длина l),} \ \text{связанных пружиной жёсткости k (точки крепления пружины совершают } \ \text{такие же перемещения } \ x_1 , x_2 , \text{ что и грузы) :} \ \ m \ddot{x}_1 = - \frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2), \ \ \ m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1) \ \ \text{Подставим антисимметричную моду} \ x_1 = -x_2 = x : \ \ m \ddot{x} = - \frac{mg}{l} x - 2 k x \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m} \ \ \text{Отсюда жёсткость пружины : } \ \ k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} \end{gather*}