Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.6.35.md
+22 −8
| @@ -1,15 +1,29 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.6.35.$ Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность планеты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые витки уменьшающегося радиуса. При этом его скорость увеличивается так, будто сила сопротивления атмосферы толкает спутник вперед, в направлении его полета! Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спутника. | ||
| + | $2.6.35^*.$ Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность планеты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые витки уменьшающегося радиуса. При этом его скорость увеличивается так, будто сила сопротивления атмосферы толкает спутник вперед, в направлении его полета! Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спутника. | ||
| − | ### Решение | ||
| + | ### Решение | ||
| − | Это явление связано с изменением орбитальной энергии и переходом на более низкие орбиты. Атмосфера создаёт силу сопротивления, направленную против движения спутника. Из-за этого спутник теряет энергию и начинает опускаться на более низкую орбиту. По законам орбитальной механики (3-й закон Кеплера), при уменьшении радиуса орбиты линейная скорость спутника увеличивается: U = √GM/r. Таким образом, хотя сопротивление тормозит спутник локально, общий эффект перехода на более низкую орбиту приводит к увеличению скорости. Если спутник теряет энергию, он "падает" в более глубокий гравитационный потенциал, где его кинетическая энергия возрастает (как у камня, падающего на Землю). | ||
| + | <b>1. Качественное объяснение:</b> | ||
| + | Сила сопротивления атмосферы совершает отрицательную работу, из-за чего полная механическая энергия спутника уменьшается. Потеря энергии приводит к тому, что спутник опускается глубже в гравитационную потенциальную яму планеты (радиус орбиты падает). При приближении к планете сила гравитации совершает положительную работу. Особенность поля тяготения такова, что работа силы тяжести при спуске оказывается ровно в два раза больше энергии, потерянной на трение об атмосферу. В результате суммарная кинетическая энергия спутника возрастает, и он разгоняется. | ||
| − | Полная энергия спутника на круговой орбите: E = -GMm/2r. При уменьшении r (из-за сопротивления) энергия становится более отрицательной, то есть спутник теряет энергию, но его кинетическая энергия растёт: Eк = mU^2/2 = GMm/2r. Сила сопротивления F сопр. совершает отрицательную работу, уменьшая полную энергию: ΔE = -Fсопр.*ΔS. ΔS - путь, пройденный за виток. | ||
| + | <b>2. Количественное объяснение:</b> | ||
| + | Для круговой орбиты радиуса $r$ скорость $v$ определяется из второго закона Ньютона: | ||
| + | $$G \frac{mM}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \implies v^2 = \frac{GM}{r}$$ | ||
| + | Кинетическая энергия спутника: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{GMm}{2r}$. | ||
| + | Потенциальная энергия спутника в гравитационном поле: $U = -\frac{GMm}{r}$. | ||
| + | Полная механическая энергия: | ||
| + | $$E = E_k + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$ | ||
| + | Заметим фундаментальную связь: $E = -E_k$. | ||
| − | Но при этом радиус орбиты уменьшается на Δr, и новая скорость становится: Uновая = √GM/r-Δr > Uстарая. Сила сопротивления направлена против скорости, но из-за уменьшения r угловой момент L = mUr сохраняется не строго (из-за внешней силы), но если Fсопр. мала, то L ≈ const. U ∼ 1/r. Однако, поскольку U ∼ 1/√r из формулы орбитальной скорости), то при уменьшении r скорость растёт. | ||
| + | Изменение полной энергии $dE$ за счет работы силы сопротивления $F_{\text{сопр}}$ на малом участке пути $ds$: | ||
| + | $$dE = -F_{\text{сопр}} ds$$ | ||
| + | Поскольку $E = -E_k$, дифференцируя, получаем $dE_k = -dE$. Подставляем это в уравнение работы: | ||
| + | $$dE_k = F_{\text{сопр}} ds$$ | ||
| + | Распишем приращение кинетической энергии через дифференциал $dE_k = d\left(\frac{mv^2}{2}\right) = m v dv$: | ||
| + | $$m v dv = F_{\text{сопр}} ds$$ | ||
| + | Разделив обе части на $dt$ (учитывая, что $v = \frac{ds}{dt}$), найдем тангенциальное ускорение спутника: | ||
| + | $$m \frac{dv}{dt} = F_{\text{сопр}} \implies a_{\tau} = \frac{F_{\text{сопр}}}{m}$$ | ||
| − | Спутник теряет энергию, как камень, теряющий потенциальную энергию при падении. | ||
| − | |||
| − | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | Из связи полной и кинетической энергий ($E = -E_k$) следует, что $dE_k = -dE$. Так как сила сопротивления уменьшает полную энергию ($dE = -F_{\text{сопр}} ds$), кинетическая энергия возрастает на величину $dE_k = F_{\text{сопр}} ds$. Математически это выглядит ровно так, будто сила сопротивления $F_{\text{сопр}}$ приложена по направлению вектора скорости и разгоняет спутник. | ||
| @@ -1,15 +1,29 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.6.35.$ Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность планеты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые витки уменьшающегося радиуса. При этом его скорость увеличивается так, будто сила сопротивления атмосферы толкает спутник вперед, в направлении его полета! Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спутника. | $2.6.35^*.$ Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность планеты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые витки уменьшающегося радиуса. При этом его скорость увеличивается так, будто сила сопротивления атмосферы толкает спутник вперед, в направлении его полета! Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спутника. | ||
| ### Решение |
### Решение | ||
| Это явление связано с изменением орбитальной энергии и переходом на более низкие орбиты. Атмосфера создаёт силу сопротивления, направленную против движения спутника. Из-за этого спутник теряет энергию и начинает опускаться на более низкую орбиту. По законам орбитальной механики (3-й закон Кеплера), при уменьшении радиуса орбиты линейная скорость спутника увеличивается: U = √GM/r. Таким образом, хотя сопротивление тормозит спутник локально, общий эффект перехода на более низкую орбиту приводит к увеличению скорости. Если спутник теряет энергию, он "падает" в более глубокий гравитационный потенциал, где его кинетическая энергия возрастает (как у камня, падающего на Землю). | <b>1. Качественное объяснение:</b> | ||
| Сила сопротивления атмосферы совершает отрицательную работу, из-за чего полная механическая энергия спутника уменьшается. Потеря энергии приводит к тому, что спутник опускается глубже в гравитационную потенциальную яму планеты (радиус орбиты падает). При приближении к планете сила гравитации совершает положительную работу. Особенность поля тяготения такова, что работа силы тяжести при спуске оказывается ровно в два раза больше энергии, потерянной на трение об атмосферу. В результате суммарная кинетическая энергия спутника возрастает, и он разгоняется. | |||
| Полная энергия спутника на круговой орбите: E = -GMm/2r. При уменьшении r (из-за сопротивления) энергия становится более отрицательной, то есть спутник теряет энергию, но его кинетическая энергия растёт: Eк = mU^2/2 = GMm/2r. Сила сопротивления F сопр. совершает отрицательную работу, уменьшая полную энергию: ΔE = -Fсопр.*ΔS. ΔS - путь, пройденный за виток. | <b>2. Количественное объяснение:</b> | ||
| Для круговой орбиты радиуса $r$ скорость $v$ определяется из второго закона Ньютона: | |||
| $$G \frac{mM}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \implies v^2 = \frac{GM}{r}$$ | |||
| Кинетическая энергия спутника: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{GMm}{2r}$. | |||
| Потенциальная энергия спутника в гравитационном поле: $U = -\frac{GMm}{r}$. | |||
| Полная механическая энергия: | |||
| $$E = E_k + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$ | |||
| Заметим фундаментальную связь: $E = -E_k$. | |||
| Но при этом радиус орбиты уменьшается на Δr, и новая скорость становится: Uновая = √GM/r-Δr > Uстарая. Сила сопротивления направлена против скорости, но из-за уменьшения r угловой момент L = mUr сохраняется не строго (из-за внешней силы), но если Fсопр. мала, то L ≈ const. U ∼ 1/r. Однако, поскольку U ∼ 1/√r из формулы орбитальной скорости), то при уменьшении r скорость растёт. | Изменение полной энергии $dE$ за счет работы силы сопротивления $F_{\text{сопр}}$ на малом участке пути $ds$: | ||
| $$dE = -F_{\text{сопр}} ds$$ | |||
| Поскольку $E = -E_k$, дифференцируя, получаем $dE_k = -dE$. Подставляем это в уравнение работы: | |||
| $$dE_k = F_{\text{сопр}} ds$$ | |||
| Распишем приращение кинетической энергии через дифференциал $dE_k = d\left(\frac{mv^2}{2}\right) = m v dv$: | |||
| $$m v dv = F_{\text{сопр}} ds$$ | |||
| Разделив обе части на $dt$ (учитывая, что $v = \frac{ds}{dt}$), найдем тангенциальное ускорение спутника: | |||
| $$m \frac{dv}{dt} = F_{\text{сопр}} \implies a_{\tau} = \frac{F_{\text{сопр}}}{m}$$ | |||
| Спутник теряет энергию, как камень, теряющий потенциальную энергию при падении. | #### Ответ | ||
| Из связи полной и кинетической энергий ($E = -E_k$) следует, что $dE_k = -dE$. Так как сила сопротивления уменьшает полную энергию ($dE = -F_{\text{сопр}} ds$), кинетическая энергия возрастает на величину $dE_k = F_{\text{сопр}} ds$. Математически это выглядит ровно так, будто сила сопротивления $F_{\text{сопр}}$ приложена по направлению вектора скорости и разгоняет спутник. | |||