| @@ -1,21 +1,38 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $13.1.20.$ Какой формы должна быть отражающая поверхность, чтобы она собирала все параллельные лучи в одной точке независимо от ширины пучка? |
| | + | $13.1.20^*.$ Какой формы должна быть отражающая поверхность, чтобы она собирала все параллельные лучи в одной точке независимо от ширины пучка? |
| | | |
| | − | ### Решение и Ответ: |
| | + | ### Решение |
| | | |
| | − | Чтобы все параллельные лучи, независимо от ширины пучка, собирались в одной точке, отражающая поверхность должна иметь форму параболоида вращения (параболического зеркала). |
| | + | Для строгого доказательства воспользуемся принципом Ферма: чтобы все параллельные лучи собрались в одной точке (фокусе) в одинаковой фазе, оптическая длина пути каждого луча от падающего волнового фронта до фокуса должна быть одинаковой. |
| | | |
| | − | У сферического зеркала лучи, идущие далеко от оптической оси, фокусируются не в одной точке, а ближе к зеркалу (сферическая аберрация). |
| | − | Только параксиальные лучи (близкие к оси) сходятся в фокусе F=R/2. |
| | + | Пусть параллельный пучок лучей падает вдоль оси $y$ из отрицательной бесконечности. Поместим искомый фокус в начало координат $F(0,0)$. |
| | + | Выберем в качестве начального волнового фронта любую прямую $y = -h$ (где $h > 0$), перпендикулярную падающим лучам. |
| | | |
| | − | Параболическая поверхность обладает свойством: |
| | + | Рассмотрим произвольный луч, который пересекает фронт, падает на искомую поверхность в точке $M(x, y)$ и после отражения попадает в фокус $F(0,0)$. |
| | + | Оптическая длина пути $L$ этого луча состоит из двух участков: |
| | + | 1. Расстояние от волнового фронта до точки $M$: $l_1 = y - (-h) = y + h$. |
| | + | 2. Расстояние от точки $M$ до фокуса $F$: $l_2 = \sqrt{x^2 + y^2}$. |
| | | |
| | − | Все параллельные лучи, отражённые от неё, сходятся в фокусе. |
| | + | Полный оптический путь: |
| | + | $$L = l_1 + l_2 = y + h + \sqrt{x^2 + y^2}$$ |
| | | |
| | − | Это следует из геометрического определения параболы: |
| | + | По условию идеальной фокусировки эта длина должна быть постоянной для любого луча (не зависеть от координаты $x$): |
| | + | $$y + h + \sqrt{x^2 + y^2} = L = \text{const}$$ |
| | | |
| | − | Для любой точки на параболе сумма расстояний до фокуса F и до директрисы (прямой, перпендикулярной оси) постоянна. |
| | − | Отражённый луч всегда идёт в фокус, так как угол падения равен углу отражения. |
| | + | Перенесем $(y + h)$ в правую часть. Обозначим постоянную величину $L - h$ как $p$ ($p > 0$): |
| | + | $$\sqrt{x^2 + y^2} = p - y$$ |
| | | |
| | − | P. S. Парабола определяется как геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса (F) и директрисы (d). Для любой точки K на параболе расстояние до фокуса KF равно расстоянию до директрисы KH (где H - проекция точки K на директрису). Расстояние между фокусом и директрисой (p) называется фокальным параметром параболы. Следовательно, для любой точки K на параболе сумма расстояний KF + KH = KF + p = const. Но так как KF = KH, то KF + KH = 2KF = 2KH = p, где p - фокальный параметр. Таким образом, сумма расстояний от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равна фокальному параметру, что является константой. |
| | + | Возведем обе части в квадрат: |
| | + | $$x^2 + y^2 = (p - y)^2$$ |
| | + | $$x^2 + y^2 = p^2 - 2py + y^2$$ |
| | + | |
| | + | Сокращаем $y^2$ и выражаем $y$: |
| | + | $$x^2 = p^2 - 2py$$ |
| | + | $$2py = p^2 - x^2$$ |
| | + | $$y = \frac{p}{2} - \frac{x^2}{2p}$$ |
| | + | |
| | + | Полученное уравнение $y(x)$ — это классическое уравнение параболы. В трехмерном пространстве (для пучка лучей) поверхность образуется вращением этой кривой вокруг оси симметрии, образуя параболоид вращения. |
| | + | |
| | + | #### Ответ |
| | + | Поверхность должна иметь форму параболоида вращения (параболического зеркала). |
