Решение

Используя этот факт можно вывести что при прохождении частота волны не меняется, а отношение амплитуд волн равно отношению амплитуд их скоростей $\frac{u_1}{u_2} = \frac{v_1}{v_2}$ . Так как $c_1 = \lambda_{1} \nu_{1}$ , $c_2 = \lambda_{2} \nu_{2}$ , а по условию $\lambda_{2} = \lambda_{1} \frac{c_2}{c_1}$ , то $\nu_1 = \nu_2$ или $\omega_1 = \omega_2$ . Как мы знаем для волны амплитуда и максимальная скорость связны отношением $v=A \omega$ , и это доказывает наше утверждение. Под потоком энергии будем понимать энергию, которая падает на единичную площадь в единицу времени, его формула будет $W=\rho c v$ , и тем же образом определим поток импульса , формула которого будет $w = \rho c v^2$ , где $\rho , v , c$-плотность среды , скорость частиц среды , скорость звука в данной среде . Хотя в разные моменты времени скорости отдельных частиц среды различны, в формулах удобно использовать максимальную скорость частиц для описания волны. Ясно , что поток импульса и энергии сохраняется и потому имеем

\begin{cases} W_0 = W_t + W_r ;\ w_0 = w_t - w_r \end{cases}
, где буквой $r$ обозначена отраженная волна , а $t$ прошедшая волна. Подставляя значения потоков , имеем
\begin{cases} \rho_1 c_1 (1-(\frac{v_r}{v_0})^2) = \rho_2 c_2 (\frac{v_t}{v_0})^2 ;\ \rho_1 c_1 (1+\frac{v_r}{v_0}) = \rho_2 c_2 (\frac{v_t}{v_0}) \end{cases}
из этого получаем $v_r = v_0 \frac{\rho_2 c_2 - \rho_1 c_1}{\rho_2 c_2 + \rho_1 c_1}$, $v_t = v_0 \frac{2\rho_1 c_1}{\rho_2 c_2 + \rho_1 c_1}$ , и используя формулу $c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ , получим окончательный ответ.