Решение

Так как шарик не всплывает на поверхность, вертикальная сила Архимеда полностью компенсируется вертикальной составляющей силы натяжения нити:
$$T \cos\alpha = \frac{4\pi r^3}{3} \rho g$$

Отсюда можно выразить силу натяжения нити:
$$T = \frac{4\pi r^3}{3 \cos\alpha} \rho g \quad (1)$$

Также мы можем записать условие равновесия для горизонтальной силы Архимеда, которая компенсируется горизонтальной составляющей силы натяжения нити:
$$T \sin\alpha = \rho V \omega^2 x \quad (2)$$

Из рисунка видно, что центр масс шарика находится на расстоянии $l + r$ от точки крепления нити. Тогда расстояние от оси вращения до центра шарика $x$ равно:
$$x = R - (l + r) \sin\alpha$$

Подставив это выражение в $(2)$, получим:
$$\rho \frac{4\pi r^3}{3} \omega^2 (R - (l + r) \sin\alpha) = T \sin\alpha \quad (3)$$

Подставляем $(1)$ в $(3)$:
$$\rho \frac{4\pi r^3}{3} \omega^2 (R - (l + r) \sin\alpha) = \frac{4\pi r^3}{3 \cos\alpha} \rho g \sin\alpha$$

Отсюда находим угловую скорость:
$$\omega = \sqrt{\frac{g \tan\alpha}{R - (l + r) \sin\alpha}}$$