Решение

Пусть $L$ — длина нити, а $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.
Полное ускорение шарика $\vec{a}$ складывается из двух компонент:

1. Тангенциальное ускорение ($a_\tau$), возникающее из-за изменения модуля скорости. Оно направлено по касательной к траектории (перпендикулярно нити) и обусловлено проекцией силы тяжести: $a_\tau = g \sin\alpha$.
2. Центростремительное ускорение ($a_n$), возникающее из-за кривизны траектории. Оно направлено вдоль нити к точке подвеса: $a_n = \frac{v^2}{L}$.

Рассмотрим три интересующих нас случая.

1. Ускорение направлено вертикально вниз
В начальный момент времени нить горизонтальна ($\alpha = 90^\circ$). Скорость шарика равна нулю ($v = 0$), следовательно, центростремительное ускорение $a_n = 0$.
Остается только тангенциальное ускорение $a_\tau = g \sin 90^\circ = g$, которое направлено строго вертикально вниз.

Ответ: в начальной (верхней) точке.

2. Ускорение направлено вертикально вверх
В нижней точке траектории нить вертикальна ($\alpha = 0^\circ$). Тангенциальное ускорение $a_\tau = g \sin 0^\circ = 0$ (скорость максимальна, ее производная равна нулю).
Остается только центростремительное ускорение $a_n = \frac{v^2}{L}$, которое направлено вдоль нити к точке подвеса, то есть строго вертикально вверх.

Ответ: в нижней точке траектории.

3. Ускорение направлено горизонтально
Чтобы полное ускорение было направлено горизонтально, его вертикальная проекция должна быть равна нулю.
Спроецируем $a_n$ и $a_\tau$ на вертикальную ось. Центростремительное ускорение дает проекцию вверх ($a_n \cos\alpha$), а тангенциальное — вниз ($a_\tau \sin\alpha$). Приравняем их:
$$a_n \cos\alpha = a_\tau \sin\alpha \quad (1)$$

Скорость в произвольной точке найдем из закона сохранения энергии. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять нижнюю точку, то:
$$mgL = \frac{mv^2}{2} + mgL(1 - \cos\alpha)$$
$$v^2 = 2gL\cos\alpha$$
Тогда центростремительное ускорение:
$$a_n = \frac{v^2}{L} = 2g\cos\alpha \quad (2)$$

Подставим $a_n$ из $(2)$ и $a_\tau = g\sin\alpha$ в уравнение $(1)$:
$$2g\cos\alpha \cdot \cos\alpha = g\sin\alpha \cdot \sin\alpha$$
$$2\cos^2\alpha = \sin^2\alpha$$
Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:
$$2\cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$
$$3\cos^2\alpha = 1 \implies \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Отсюда угол отклонения от вертикали равен $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
(Также это можно выразить через тангенс: $\tan^2\alpha = 2 \implies \tan\alpha = \sqrt{2}$).

Примечание: В оригинальном издании задачника Савченко допущена ошибка — в ответе указан угол $45^\circ$. При угле $45^\circ$ горизонтальны лишь проекции, но само полное ускорение направлено под углом к горизонту. Правильный ответ: $\arccos(1/\sqrt{3})$.