$2.3.22.$ На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направлено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально?
Пусть $L$ - длина нити. Ускорение шарика складывается из Тангенциального ускорения (из-за изменения скорости) и центростремительного ускорения (из-за криволинейного движения). Их сумма равняется полному ускорению шарика. В нижней точке траектории (когда нить вертикальна) скорость шарика максимальна, а тангенциальное ускорение = 0, (нет изменения скорости). Остаётся только центростремительное ускорение, направленное вверх к точке подвеса. Ускорение направлено вертикально вверх. В начальный момент (когда нить горизонтальна), скорость шарика = 0, поэтому центростремительное ускорение = 0. Есть только тангенциальное ускорение = $g$, направленное вниз (под действием силы тяжести). Ускорение направлено вертикально вниз. На углу $90^\circ$ от начального положения (когда нить образует угол $45^\circ$ с вертикалью). Горизонтальная компонента $T\sin\alpha$ даёт результирующее горизонтальное ускорение. Тангенциальное и центростремительное ускорения дают равные горизонтальные и вертикальные проекции, но результирующее ускорение направлено горизонтально.
−
−
### Ответ:
−
−
Вертикально вверх: нижняя точка.
−
−
Вертикально вниз: начальная точка (верхняя точка).
−
−
Горизонтально: при угле $45^\circ$ от вертикали.
−
−
### Правильное решение
−
−
К вопросу о горизонтальном направлении ускорения
−
В ответе задачника ошибка/опечатка.
+
Пусть $L$ — длина нити, а $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.
+
Полное ускорение шарика $\vec{a}$ складывается из двух компонент:
+
1.<b>Тангенциальное ускорение</b> ($a_\tau$), возникающее из-за изменения модуля скорости. Оно направлено по касательной к траектории (перпендикулярно нити) и обусловлено проекцией силы тяжести: $a_\tau = g \sin\alpha$.
+
2.<b>Центростремительное ускорение</b> ($a_n$), возникающее из-за кривизны траектории. Оно направлено вдоль нити к точке подвеса: $a_n = \frac{v^2}{L}$.
−
### Альтернативное решение
+
Рассмотрим три интересующих нас случая.
−
Найдём угол отклонения нити от вертикали, при котором ускорение шарика будет иметь горизонтальное направление ещё одним способом. Будем использовать рисунок из правильного решения.
+
<b>1. Ускорение направлено вертикально вниз</b>\
+
В начальный момент времени нить горизонтальна ($\alpha = 90^\circ$). Скорость шарика равна нулю ($v = 0$), следовательно, центростремительное ускорение $a_n = 0$.
+
Остается только тангенциальное ускорение $a_\tau = g \sin 90^\circ = g$, которое направлено строго вертикально вниз.
−
Поскольку центростремительное ускорение ($\vec a_{n}$) направлено вдоль нити, а тангенциальное ($\vec a_{\tau}$) — перпендикулярно нити, их векторная сумма образует прямоугольный треугольник. Для того чтобы суммарное ускорение было горизонтально, сумма векторов $\vec a_{n}$ и $\vec a_{\tau}$ должна быть горизонтальна. В искомой точке вертикальная составляющая результирующего вектора должна быть равна 0:
+
<b>Ответ:</b> в начальной (верхней) точке.
−
$$a_{верт}=a_{n}\cos\alpha-a_{\tau}\sin\alpha=0$$
+
<b>2. Ускорение направлено вертикально вверх</b>\
+
В нижней точке траектории нить вертикальна ($\alpha = 0^\circ$). Тангенциальное ускорение $a_\tau = g \sin 0^\circ = 0$ (скорость максимальна, ее производная равна нулю).
+
Остается только центростремительное ускорение $a_n = \frac{v^2}{L}$, которое направлено вдоль нити к точке подвеса, то есть строго вертикально вверх.
−
Отсюда:
+
<b>Ответ:</b> в нижней точке траектории.
−
$$a_{n}\cos\alpha=a_{\tau}\sin\alpha\tag{1}$$
+
<b>3. Ускорение направлено горизонтально</b>\
+
Чтобы полное ускорение было направлено горизонтально, его вертикальная проекция должна быть равна нулю.
+
Спроецируем $a_n$ и $a_\tau$ на вертикальную ось. Центростремительное ускорение дает проекцию вверх ($a_n \cos\alpha$), а тангенциальное — вниз ($a_\tau\sin\alpha$). Приравняем их:
+
$$a_n \cos\alpha = a_\tau\sin\alpha\quad (1)$$
−
Тангенциальное ускорение обусловлено силой тяжести: $a_{\tau}=g\sin\alpha\tag{2}$.
+
Скорость в произвольной точке найдем из закона сохранения энергии. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять нижнюю точку, то:
+
$$mgL = \frac{mv^2}{2} + mgL(1 - \cos\alpha)$$
+
$$v^2 = 2gL\cos\alpha$$
+
Тогда центростремительное ускорение:
+
$$a_n = \frac{v^2}{L} = 2g\cos\alpha\quad (2)$$
−
Центростремительное ускорение равно:
+
Подставим $a_n$ из $(2)$ и $a_\tau = g\sin\alpha$ в уравнение $(1)$:
Отсюда угол отклонения от вертикали равен $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
+
(Также это можно выразить через тангенс: $\tan^2\alpha = 2 \implies\tan\alpha = \sqrt{2}$).
−
$$a_{n}=\frac{\upsilon^{2}}{R}$$
+
<i>Примечание: В оригинальном издании задачника Савченко допущена ошибка — в ответе указан угол $45^\circ$. При угле $45^\circ$ горизонтальны лишь проекции, но само полное ускорение направлено под углом к горизонту. Правильный ответ: $\arccos(1/\sqrt{3})$.</i>
−
Скорость в искомой точке найдём из закона сохранения энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение шарика на траектории. Тогда:
Чтоб не смущать читателей, покажу, что $\tan\alpha=\sqrt{2}$ это тоже самое, что $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$:
−
−
$$(\tan\alpha)^{2}=2$$
−
$$\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=2$$
−
$$\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=2$$
−
$$1-\cos^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha$$
−
$$\cos^{2}\alpha=\frac{1}{3}$$
−
$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
−
−
### Ответ:
−
−
Ускорение направлено горизонтально в точке, где угол отклонения нити от вертикали равно:
−
−
$$\alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$$
−
−
или через тангенс:
−
−
$$\alpha=\arctan(\sqrt{2})$$
+
#### Ответ
+
Вертикально вверх: в нижней точке траектории.\
+
Вертикально вниз: в начальной (верхней) точке.\
+
Горизонтально: в точке, где нить составляет с вертикалью угол $\arccos(1/\sqrt{3})$ (или $\arctan\sqrt{2}$).
### Условие
### Условие
$2.3.22.$ На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направлено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально?
$2.3.22.$ На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направлено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально?
Пусть $L$ - длина нити. Ускорение шарика складывается из Тангенциального ускорения (из-за изменения скорости) и центростремительного ускорения (из-за криволинейного движения). Их сумма равняется полному ускорению шарика. В нижней точке траектории (когда нить вертикальна) скорость шарика максимальна, а тангенциальное ускорение = 0, (нет изменения скорости). Остаётся только центростремительное ускорение, направленное вверх к точке подвеса. Ускорение направлено вертикально вверх. В начальный момент (когда нить горизонтальна), скорость шарика = 0, поэтому центростремительное ускорение = 0. Есть только тангенциальное ускорение = $g$, направленное вниз (под действием силы тяжести). Ускорение направлено вертикально вниз. На углу $90^\circ$ от начального положения (когда нить образует угол $45^\circ$ с вертикалью). Горизонтальная компонента $T\sin\alpha$ даёт результирующее горизонтальное ускорение. Тангенциальное и центростремительное ускорения дают равные горизонтальные и вертикальные проекции, но результирующее ускорение направлено горизонтально.
### Ответ:
Вертикально вверх: нижняя точка.
Вертикально вниз: начальная точка (верхняя точка).
Горизонтально: при угле $45^\circ$ от вертикали.
### Правильное решение
К вопросу о горизонтальном направлении ускорения
В ответе задачника ошибка/опечатка.
Пусть $L$ — длина нити, а $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.
Полное ускорение шарика $\vec{a}$ складывается из двух компонент:
1.<b>Тангенциальное ускорение</b> ($a_\tau$), возникающее из-за изменения модуля скорости. Оно направлено по касательной к траектории (перпендикулярно нити) и обусловлено проекцией силы тяжести: $a_\tau = g \sin\alpha$.
2.<b>Центростремительное ускорение</b> ($a_n$), возникающее из-за кривизны траектории. Оно направлено вдоль нити к точке подвеса: $a_n = \frac{v^2}{L}$.
### Альтернативное решение
Рассмотрим три интересующих нас случая.
Найдём угол отклонения нити от вертикали, при котором ускорение шарика будет иметь горизонтальное направление ещё одним способом. Будем использовать рисунок из правильного решения.
<b>1. Ускорение направлено вертикально вниз</b>\
В начальный момент времени нить горизонтальна ($\alpha = 90^\circ$). Скорость шарика равна нулю ($v = 0$), следовательно, центростремительное ускорение $a_n = 0$.
Остается только тангенциальное ускорение $a_\tau = g \sin 90^\circ = g$, которое направлено строго вертикально вниз.
Поскольку центростремительное ускорение ($\vec a_{n}$) направлено вдоль нити, а тангенциальное ($\vec a_{\tau}$) — перпендикулярно нити, их векторная сумма образует прямоугольный треугольник. Для того чтобы суммарное ускорение было горизонтально, сумма векторов $\vec a_{n}$ и $\vec a_{\tau}$ должна быть горизонтальна. В искомой точке вертикальная составляющая результирующего вектора должна быть равна 0:
<b>Ответ:</b> в начальной (верхней) точке.
$$a_{верт}=a_{n}\cos\alpha-a_{\tau}\sin\alpha=0$$
<b>2. Ускорение направлено вертикально вверх</b>\
В нижней точке траектории нить вертикальна ($\alpha = 0^\circ$). Тангенциальное ускорение $a_\tau = g \sin 0^\circ = 0$ (скорость максимальна, ее производная равна нулю).
Остается только центростремительное ускорение $a_n = \frac{v^2}{L}$, которое направлено вдоль нити к точке подвеса, то есть строго вертикально вверх.
Отсюда:
<b>Ответ:</b> в нижней точке траектории.
$$a_{n}\cos\alpha=a_{\tau}\sin\alpha\tag{1}$$
<b>3. Ускорение направлено горизонтально</b>\
Чтобы полное ускорение было направлено горизонтально, его вертикальная проекция должна быть равна нулю.
Спроецируем $a_n$ и $a_\tau$ на вертикальную ось. Центростремительное ускорение дает проекцию вверх ($a_n \cos\alpha$), а тангенциальное — вниз ($a_\tau\sin\alpha$). Приравняем их:
$$a_n \cos\alpha = a_\tau\sin\alpha\quad (1)$$
Тангенциальное ускорение обусловлено силой тяжести: $a_{\tau}=g\sin\alpha\tag{2}$.
Скорость в произвольной точке найдем из закона сохранения энергии. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять нижнюю точку, то:
$$mgL = \frac{mv^2}{2} + mgL(1 - \cos\alpha)$$
$$v^2 = 2gL\cos\alpha$$
Тогда центростремительное ускорение:
$$a_n = \frac{v^2}{L} = 2g\cos\alpha\quad (2)$$
Центростремительное ускорение равно:
Подставим $a_n$ из $(2)$ и $a_\tau = g\sin\alpha$ в уравнение $(1)$:
Отсюда угол отклонения от вертикали равен $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
(Также это можно выразить через тангенс: $\tan^2\alpha = 2 \implies\tan\alpha = \sqrt{2}$).
$$a_{n}=\frac{\upsilon^{2}}{R}$$
<i>Примечание: В оригинальном издании задачника Савченко допущена ошибка — в ответе указан угол $45^\circ$. При угле $45^\circ$ горизонтальны лишь проекции, но само полное ускорение направлено под углом к горизонту. Правильный ответ: $\arccos(1/\sqrt{3})$.</i>
Скорость в искомой точке найдём из закона сохранения энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение шарика на траектории. Тогда:
#### Ответ
Вертикально вверх: в нижней точке траектории.\
$$mgR=\frac{m\upsilon^{2}}{2}+mgR(1-\cos\alpha)$$
Вертикально вниз: в начальной (верхней) точке.\
$$\upsilon^{2}=2gR\cos\alpha$$
Горизонтально: в точке, где нить составляет с вертикалью угол $\arccos(1/\sqrt{3})$ (или $\arctan\sqrt{2}$).
