Новое решение

Valter правка от 26 авг. 2026 г., 18:58

правка #20360 позже →

ru/3.9.8.md +40 −0

		@@ -0,0 +1,40 @@
		+	### Условие
		+
		+	$3.9.8.$ [Вставьте условие задачи]
		+
		+	### Решение
		+
		+	### Условие
		+
		+	$3.9.8^\ast.$ а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня $S$, плотность его материала $\rho$, скорость волны в стержне $c$.
		+	б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенного на расстоянии $l$ друг от друга, действует продольная внешняя сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны возникают в стержне? При каких значениях $l$ мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности?
		+
		+	### Решение
		+
		+	<b>Часть А. Один источник</b>
		+
		+	<b>1. Волны скорости</b>
		+	Расположим начало координат $x=0$ в сечении, где приложена сила. Внешняя сила $F(t)$ генерирует две упругие волны, бегущие в противоположных направлениях.
		+	Волновое (акустическое) сопротивление одного полубесконечного стержня равно $Z = \rho c S$. Так как источник вынужден «раскачивать» одновременно два полубесконечных стержня (справа и слева), суммарная сила сопротивления среды равна $2Zv(0, t)$.
		+	По третьему закону Ньютона внешняя сила уравновешивается этим сопротивлением:
		+	$$F_0 \cos\omega t = 2 \rho c S v(0, t)$$
		+	Отсюда находим скорость сечения $x=0$:
		+	$$v(0, t) = \frac{F_0}{2 \rho c S} \cos\omega t$$
		+	Введем обозначения: амплитуда скорости $v_m = \frac{F_0}{2 \rho c S}$, волновое число $k = \frac{\omega}{c}$. Тогда уравнения бегущих волн скорости примут вид:
		+	При $x > 0$:
		+	$$v(x,t) = v_m \cos(\omega t - kx)$$
		+	При $x < 0$:
		+	$$v(x,t) = v_m \cos(\omega t + kx)$$
		+
		+	<b>2. Волны деформации</b>
		+	Относительная деформация $\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}$ связана со скоростью частиц $v = \frac{\partial u}{\partial t}$.
		+	Для плоской волны, бегущей в положительном направлении ($x>0$), справедливо соотношение $\varepsilon = -v/c$. Для волны, бегущей в отрицательном направлении ($x<0$), справедливо $\varepsilon = v/c$.
		+	Следовательно, волны деформации описываются уравнениями:
		+	При $x > 0$:
		+	$$\varepsilon(x,t) = -\frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t - kx)$$
		+	При $x < 0$:
		+	$$\varepsilon(x,t) = \frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t + kx)$$
		+
		+	#### Ответ
		+
		+	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]

	@@ -0,0 +1,40 @@
			### Условие

			$3.9.8.$ [Вставьте условие задачи]

			### Решение

			### Условие

			$3.9.8^\ast.$ а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня $S$, плотность его материала $\rho$, скорость волны в стержне $c$.
			б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенного на расстоянии $l$ друг от друга, действует продольная внешняя сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны возникают в стержне? При каких значениях $l$ мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности?

			### Решение

			<b>Часть А. Один источник</b>

			<b>1. Волны скорости</b>
			Расположим начало координат $x=0$ в сечении, где приложена сила. Внешняя сила $F(t)$ генерирует две упругие волны, бегущие в противоположных направлениях.
			Волновое (акустическое) сопротивление одного полубесконечного стержня равно $Z = \rho c S$. Так как источник вынужден «раскачивать» одновременно два полубесконечных стержня (справа и слева), суммарная сила сопротивления среды равна $2Zv(0, t)$.
			По третьему закону Ньютона внешняя сила уравновешивается этим сопротивлением:
			$$F_0 \cos\omega t = 2 \rho c S v(0, t)$$
			Отсюда находим скорость сечения $x=0$:
			$$v(0, t) = \frac{F_0}{2 \rho c S} \cos\omega t$$
			Введем обозначения: амплитуда скорости $v_m = \frac{F_0}{2 \rho c S}$, волновое число $k = \frac{\omega}{c}$. Тогда уравнения бегущих волн скорости примут вид:
			При $x > 0$:
			$$v(x,t) = v_m \cos(\omega t - kx)$$
			При $x < 0$:
			$$v(x,t) = v_m \cos(\omega t + kx)$$

			<b>2. Волны деформации</b>
			Относительная деформация $\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}$ связана со скоростью частиц $v = \frac{\partial u}{\partial t}$.
			Для плоской волны, бегущей в положительном направлении ($x>0$), справедливо соотношение $\varepsilon = -v/c$. Для волны, бегущей в отрицательном направлении ($x<0$), справедливо $\varepsilon = v/c$.
			Следовательно, волны деформации описываются уравнениями:
			При $x > 0$:
			$$\varepsilon(x,t) = -\frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t - kx)$$
			При $x < 0$:
			$$\varepsilon(x,t) = \frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t + kx)$$

			#### Ответ

			[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]