$3.9.8^\ast.$ а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня $S$, плотность его материала $\rho$, скорость волны в стержне $c$. б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенного на расстоянии $l$ друг от друга, действует продольная внешняя сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны возникают в стержне? При каких значениях $l$ мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности?
Решение
Часть А. Один источник
1. Волны скорости Расположим начало координат $x=0$ в сечении, где приложена сила. Внешняя сила $F(t)$ генерирует две упругие волны, бегущие в противоположных направлениях. Волновое (акустическое) сопротивление одного полубесконечного стержня равно $Z = \rho c S$. Так как источник вынужден «раскачивать» одновременно два полубесконечных стержня (справа и слева), суммарная сила сопротивления среды равна $2Zv(0, t)$. По третьему закону Ньютона внешняя сила уравновешивается этим сопротивлением: $$F_0 \cos\omega t = 2 \rho c S v(0, t)$$ Отсюда находим скорость сечения $x=0$: $$v(0, t) = \frac{F_0}{2 \rho c S} \cos\omega t$$ Введем обозначения: амплитуда скорости $v_m = \frac{F_0}{2 \rho c S}$, волновое число $k = \frac{\omega}{c}$. Тогда уравнения бегущих волн скорости примут вид: При $x > 0$: $$v(x,t) = v_m \cos(\omega t - kx)$$ При $x < 0$: $$v(x,t) = v_m \cos(\omega t + kx)$$
2. Волны деформации Относительная деформация $\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}$ связана со скоростью частиц $v = \frac{\partial u}{\partial t}$. Для плоской волны, бегущей в положительном направлении ($x>0$), справедливо соотношение $\varepsilon = -v/c$. Для волны, бегущей в отрицательном направлении ($x<0$), справедливо $\varepsilon = v/c$. Следовательно, волны деформации описываются уравнениями: При $x > 0$: $$\varepsilon(x,t) = -\frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t - kx)$$ При $x < 0$: $$\varepsilon(x,t) = \frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t + kx)$$