Решение

Часть А. Один источник

1. Волны скорости
Расположим начало координат $x=0$ в сечении, где приложена сила. Внешняя сила $F(t)$ генерирует две упругие волны, бегущие в противоположных направлениях.
Волновое (акустическое) сопротивление одного полубесконечного стержня равно $Z = \rho c S$. Так как источник вынужден «раскачивать» одновременно два полубесконечных стержня (справа и слева), суммарная сила сопротивления среды равна $2Zv(0, t)$.
По третьему закону Ньютона внешняя сила уравновешивается этим сопротивлением:
$$F_0 \cos\omega t = 2 \rho c S v(0, t)$$
Отсюда находим скорость сечения $x=0$:
$$v(0, t) = \frac{F_0}{2 \rho c S} \cos\omega t$$
Введем обозначения: амплитуда скорости $v_m = \frac{F_0}{2 \rho c S}$, волновое число $k = \frac{\omega}{c}$. Тогда уравнения бегущих волн скорости (учитывая запаздывание фазы на $\pm kx$) примут вид:

При $x > 0$:
$$v(x,t) = v_m \cos(\omega t - kx)$$
При $x < 0$:
$$v(x,t) = v_m \cos(\omega t + kx)$$

2. Волны деформации
Относительная деформация $\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}$ связана со скоростью частиц $v = \frac{\partial u}{\partial t}$.
Для плоской волны, бегущей вправо ($x>0$), справедливо $\varepsilon = -v/c$. Для волны, бегущей влево ($x<0$), справедливо $\varepsilon = v/c$.
Уравнения волн деформации:

При $x > 0$:
$$\varepsilon(x,t) = -\frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t - kx)$$
При $x < 0$:
$$\varepsilon(x,t) = \frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t + kx)$$

Часть Б. Два источника

Пусть источники расположены в координатах $x_1 = -l/2$ и $x_2 = l/2$. По принципу суперпозиции результирующая скорость равна сумме волн от каждого источника.

1. Вне источников (бегущие волны)
Рассмотрим область правее обоих источников ($x > l/2$). Суммируем две волны, бегущие вправо:
$$v_{\text{рез}} = v_m \cos\left(\omega t - k\left(x + \frac{l}{2}\right)\right) + v_m \cos\left(\omega t - k\left(x - \frac{l}{2}\right)\right)$$
Применяя формулу суммы косинусов, получаем уравнение двух разбегающихся волн вне источников:
$$v_{\text{рез}} = 2 v_m \cos\left(\frac{kl}{2}\right) \cos(\omega t - kx) = \frac{F_0}{\rho c S} \cos\left(\frac{\omega l}{2c}\right) \cos\left(\omega \left(t - \frac{x}{c}\right)\right)$$

2. Между источниками (стоячая волна)
В области $-l/2 < x < l/2$ волна от левого источника бежит вправо, а от правого — влево:
$$v_{\text{внутр}} = v_m \cos\left(\omega t - k\left(x + \frac{l}{2}\right)\right) + v_m \cos\left(\omega t - k\left(\frac{l}{2} - x\right)\right)$$
$$v_{\text{внутр}} = 2 v_m \cos\left(\omega t - \frac{kl}{2}\right) \cos(kx) = \frac{F_0}{\rho c S} \cos\left(\omega \left(t - \frac{l}{2c}\right)\right) \cos\left(\frac{\omega x}{c}\right)$$
Здесь образуется классическая стоячая волна.

3. Анализ мощности
Мощность, излучаемая во внешнюю область, пропорциональна квадрату амплитуды бегущей волны $v_{\text{рез}}$.

Наибольшая мощность достигается при $\cos\left(\frac{kl}{2}\right) = \pm 1$, что соответствует $\frac{\omega l}{2c} = \pi n$.
Отсюда $l = n \frac{2\pi c}{\omega} = n\lambda$. На расстоянии $l$ умещается четное число полуволн. Волны усиливают друг друга.

Наименьшая мощность (равная нулю) достигается при $\cos\left(\frac{kl}{2}\right) = 0$, что соответствует $\frac{\omega l}{2c} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Отсюда $l = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda$. На расстоянии $l$ умещается нечетное число полуволн. Во внешней области волны полностью гасят друг друга.

4. Почему энергия результирующей волны не равна сумме энергий источников?
Мощность, которую источник передает стержню, равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения: $P = F \cdot v$.
Особенность системы в том, что скорость $v$ в месте приложения первой силы складывается из скорости, инициированной самой этой силой, и скорости волны, пришедшей от второго источника.

Источники взаимодействуют друг с другом через упругую среду стержня. Если $l = (n+0,5)\lambda$, волна от второго источника приходит к первому в противофазе. В результате скорость металла в точке приложения силы становится равной нулю. Источник действует с силой $F_0 \cos\omega t$, но точка приложения не перемещается, следовательно, работа не совершается ($P = 0$). Источники «блокируют» работу друг друга, из-за чего суммарная излучаемая энергия равна нулю.