Правка разделов «Условие», «Решение», «Диаграммы»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #20381 предыдущая #20378 ← раньше позже →
ru/3.8.9.md +97 −3
@@ -1,11 +1,105 @@
### Условие
−$3.8.9.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.8.9^*.$ Предел прочности керамики и стекол на разрыв значительно меньше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения $\sigma_0$ и протяженностью $L$. Какой участок стержня отколется, если предел прочности на
+разрыв $\sigma^* < \sigma_0$? Рассмотрите случаи $\sigma_0 \gg \sigma^*$ и $\sigma_0 \approx \sigma^*$.
+![К задаче $3.8.9$|1250x524, 50%](../../img/3.8.9/389.png)
+
+
### Решение
−1
+В условии переобозначен предел прочности на разрыв $\sigma^*$. В задаче под прочностью на разрыв понимается прочность на растягивающее напряжение.
+
+#### Диаграммы
+
+Начинаем смотреть диаграммы напряжения (изменения давления) после касания прямой волны бегущей (см. рисунок к задаче) свободной границы стержня, к которой изначально двигалась положительная полуволна напряжения. Эта свободная граница совпадает на диаграммах с вертикальной осью, на которой откладываем значения напряжения $\sigma$.
+
+Пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, меньшее $L/2$. Вот диаграмма (используем прием задачи $3.8.6$ в терминах напряжения).
+
+![Д1|1688x877, 50%](../../img/3.8.9/389a.png)
+
+Из анализа рисунка Д1 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, меньшее $L/2$, в стержне нет растяжения и не может быть откола (откол есть разрушение в точке, в которой превышена прочность на растяжение).
+
+Ясно, что если прямая бегущая вошла в границу на расстояние $L/2$, то напряжение в стержне отсутствует (постройте диаграмму, чтобы убедиться).
+
+Теперь пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, большее(!) $L/2$. Вот диаграмма.
+
+![Д2|1687x876, 50%](../../img/3.8.9/389bb.png)
+
+Из анализа рисунка Д2 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, большее $L/2$, в стержне только точки с растяжением (отрицательное напряжение) и в какой-то точке может быть превышено по модулю максимальное напряжение растяжения $\sigma^*$.
+
+
+#### Точка откола
+
+Случаи под диаграмму Д2 дают понять, что максимальное напряжение растяжения всегда под крайней левой точкой прямой бегущей, под точкой $A$ на диаграмме Д2. В этой точке и произойдет откол.
+
+Кто-то додумается, что после момента времени, когда прямая вошла в границу на $L/2$, модуль напряжения под точкой $A$ меняется по закону синуса: точке $A$ отвечает значение напряжения в обратной бегущей под ней.
+
+Если дальнейшее решение связано с точкой $A$, перейдем в ситему, связанную с точкой $A$. В таком случае модуль напряжения под ней меняется по синусу (после начала появления растяжения в стержне). Тогда обратная волна пробегает точку $A$ со скоростью $2c$, и если виртуально продолжать синусоидальный профиль обратной, то значение под точкой $A$ меняется периодически с периодом $T = 2L/(2c)$.
+
+Итак, закон изменения напряжения растяжения (модуль) после появления растяжения
+
+$$
+\sigma = \sigma_0\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right).
+$$
+
+Отсюда время $\tau$ после появления растяжения, когда появится точка откола
+
+$$
+\tau = \frac{L}{2\pi c}\arcsin\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right).
+$$
+
+Расстояние от границы, на котором достигнут будет максимум растяжения (см. Д2)
+
+$$
+l = \frac{L}{2} - c\tau
+$$
+
+и
+
+$$
+\boxed{l = \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}\right).}
+$$
+
+При $\sigma_0\gg\sigma$:
+
+$$
+l \approx \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma_0}\right) \approx \frac{L}{2}.
+$$
+
+При $\sigma_0\approx\sigma$:
+
+$$
+l \approx \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\pi}{2}\right) \approx \frac{L}{4}.
+$$
+
+
+#### Литература
+
+[1] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 1999.
+
+[2] Физика взрыва. Л.П. Орленко. Т2. 2004.
+
+[3] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.
+
+[4] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+l = \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}\right).
+$$
+
+При $\sigma_0\gg\sigma$:
+
+$$
+l \approx \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma_0}\right) \approx \frac{L}{2}.
+$$
+
+При $\sigma_0\approx\sigma$:
+
+$$
+l \approx \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\pi}{2}\right) \approx \frac{L}{4}.
+$$