Решение

В условии переобозначен предел прочности на разрыв $\sigma^*$. В задаче под прочностью на разрыв понимается прочность на растягивающее напряжение.

Диаграммы

Начинаем смотреть диаграммы напряжения (изменения давления) после касания прямой волны бегущей (см. рисунок к задаче) свободной границы стержня, к которой изначально двигалась положительная полуволна напряжения. Эта свободная граница совпадает на диаграммах с вертикальной осью, на которой откладываем значения напряжения $\sigma$.

Пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, меньшее $L/2$. Вот диаграмма (используем прием задачи $3.8.6$ в терминах напряжения).

Из анализа рисунка Д1 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, меньшее $L/2$, в стержне нет растяжения и не может быть откола (откол есть разрушение в точке, в которой превышена прочность на растяжение).

Ясно, что если прямая бегущая вошла в границу на расстояние $L/2$, то напряжение в стержне отсутствует (постройте диаграмму, чтобы убедиться).

Теперь пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, большее(!) $L/2$. Вот диаграмма.

Из анализа рисунка Д2 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, большее $L/2$, в стержне только точки с растяжением (отрицательное напряжение) и в какой-то точке может быть превышено по модулю максимальное напряжение растяжения $\sigma^*$.

Точка откола

Случаи под диаграмму Д2 дают понять, что максимальное напряжение растяжения всегда под крайней левой точкой прямой бегущей, под точкой $A$ на диаграмме Д2. В этой точке и произойдет откол.

Кто-то додумается, что после момента времени, когда прямая вошла в границу на $L/2$, модуль напряжения под точкой $A$ меняется по закону синуса: точке $A$ отвечает значение напряжения в обратной бегущей под ней.

Если дальнейшее решение связано с точкой $A$, перейдем в ситему, связанную с точкой $A$. В таком случае модуль напряжения под ней меняется по синусу (после начала появления растяжения в стержне). Тогда обратная волна пробегает точку $A$ со скоростью $2c$, и если виртуально продолжать синусоидальный профиль обратной, то значение под точкой $A$ меняется периодически с периодом $T = 2L/(2c)$.

Итак, закон изменения напряжения растяжения (модуль) после появления растяжения

$$\sigma = \sigma_0\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right).$$

Отсюда время $\tau$ после появления растяжения, когда появится точка откола

$$\tau = \frac{L}{2\pi c}\arcsin\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right).$$

Расстояние от границы, на котором достигнут будет максимум растяжения (см. Д2)

$$l = \frac{L}{2} - c\tau$$

и

$$\boxed{l = \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}\right).}$$

При $\sigma_0\gg\sigma$:

$$l \approx \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma_0}\right) \approx \frac{L}{2}.$$

При $\sigma_0\approx\sigma$:

$$l \approx \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\pi}{2}\right) \approx \frac{L}{4}.$$