Решение

Найдём момент модуля суммарной силы $F$, действующей на $-q$:

$$F\ell=F_k\cdot\frac{\ell}{\sqrt{2}}-2F_k\cdot \ell \cdot \cos{45^{\circ}}-F_k\cdot\sqrt{2}\ell\tag{1}$$

1-й член: взаимодействие заряда с центральным $q$, 2-й: с 2-мя соседними $-q$, 3-й: с противоположным $-q$

Подставляем выражение для закона Кулона

$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{\ell^2}-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2\ell^2}\tag{2}$$

$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \left(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)\tag{3}$$

NO: $F>0,$ т.е. заряды могут двигаться по окружности.

Согласно динамике вращательного движения

$$\omega^2r=a_{\text{цс}}=\frac{F}{m}\tag{4}$$

Откуда выражаем угловую скорость $\omega$ движения частиц

$$\omega =\sqrt{\frac{F}{mr}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot}\sqrt{\frac{1}{m\ell/\sqrt{2}}}\tag{5}$$

После математических преобразований, получаем финальное выражение

$$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}}\tag{6}$$