| @@ -1,49 +1,38 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $6.1.13.$ Вокруг заряда $q$ вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной $\ell$, четыре одинаковых частицы массы $m$ и заряда $-q$ каждая. Заряд $q$ находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите. |
| $6.1.13.$ Вокруг заряда $q$ вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной $\ell$, четыре одинаковых частицы массы $m$ и заряда $-q$ каждая. Заряд $q$ находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите. |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Найдём момент модуля суммарной силы $F$, действующей на $-q$: |
| Найдём модуль равнодействующей силы $F$, действующей на один из зарядов $-q$ и направленной к центру орбиты. |
| |
| Эта сила представляет собой суперпозицию силы притяжения со стороны центрального заряда $q$ и сил отталкивания со стороны трех других зарядов $-q$. |
| |
| |
| $$ |
| Радиус орбиты (расстояние до центра) равен $r = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$. |
| F\ell=F_k\cdot\frac{\ell}{\sqrt{2}}-2F_k\cdot \ell \cdot \cos{45^{\circ}}-F_k\cdot\sqrt{2}\ell\tag{1} |
| Используя закон Кулона, спроецируем все силы на радиальную ось: |
| $$ |
| $$F = F_{\text{центр}} - 2F_{\text{сосед}} \cdot \cos 45^\circ - F_{\text{противоп}} \quad (1)$$ |
| |
| |
| 1-й член: взаимодействие заряда с центральным $q$, 2-й: с 2-мя соседними $-q$, 3-й: с противоположным $-q$ |
| Где: |
| |
| - 1-е слагаемое — взаимодействие с центральным зарядом $q$. |
| |
| - 2-е слагаемое — взаимодействие с двумя соседними зарядами $-q$ (на расстоянии $\ell$). |
| |
| - 3-е слагаемое — взаимодействие с противоположным зарядом $-q$ (на расстоянии $\ell\sqrt{2}$). |
| |
| |
| Подставляем выражение для закона Кулона |
| Подставляем выражения для сил по закону Кулона: |
| |
| $$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{(\ell/\sqrt{2})^2} - 2 \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{(\ell\sqrt{2})^2} \quad (2)$$ |
| |
| |
| $$ |
| $$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \left( 2 - \sqrt{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} \right) \quad (3)$$ |
| F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{\ell^2}-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2\ell^2}\tag{2} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| $$ |
| <i>Примечание: Так как $3 > 2\sqrt{2}$, получаем $F > 0$. Равнодействующая сила действительно направлена к центру, что обеспечивает возможность движения по окружности.</i> |
| F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \left(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)\tag{3} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| __NO:__ $F>0,$ т.е. заряды могут двигаться по окружности. |
| Согласно второму закону Ньютона для движения по окружности (где $a_{\text{цс}}$ — центростремительное ускорение): |
| |
| $$\omega^2 r = a_{\text{цс}} = \frac{F}{m} \quad (4)$$ |
| |
| |
| Согласно динамике вращательного движения |
| Отсюда выражаем угловую скорость $\omega$: |
| |
| $$\omega = \sqrt{\frac{F}{mr}} = \sqrt{ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{1}{m \ell / \sqrt{2}} } \quad (5)$$ |
| |
| |
| $$ |
| После математических преобразований (умножения числителя на $\sqrt{2}$) получаем финальное выражение: |
| \omega^2r=a_{\text{цс}}=\frac{F}{m}\tag{4} |
| $$\omega = \sqrt{ \frac{3\sqrt{2} - 4}{2} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{m\ell^3} } \quad (6)$$ |
| $$ |
| |
| |
| |
| Откуда выражаем угловую скорость $\omega$ движения частиц |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \omega =\sqrt{\frac{F}{mr}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot}\sqrt{\frac{1}{m\ell/\sqrt{2}}}\tag{5} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| После математических преобразований, получаем финальное выражение |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \boxed{\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}}\tag{6} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| $$\omega = \sqrt{ \frac{3\sqrt{2} - 4}{2} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{m\ell^3} }$$ |
| $$ |
| |
| \omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}} |
| |
| $$ |
| |
