Правка разделов «Условие», «Решение»
ru/3.8.11.md
+2 −1
| ### Условие | |||
| $3.8.11.$ Два упругих стержня из одинакового материала и одинакового сечения, но разной длины $l$ и $L > l$ движутся навстречу друг другу со скоростью $v$. Определите скорость центров масс этих стержней после их столкновения. | |||
| @@ -4,9 +4,10 @@Условие | |||
|  | |||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | По идее задачи $3.8.1$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна имеет скорость частиц $v/2$ в соответствующем направлении. | ||
| + | По идее задачи $3.8.1$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна перемещается по стержню противоположно другой частичной и имеет скорость частиц $v/2$ в соответствующем направлении. | ||
| В момент касания эти частичные волны-змейки в месте контакта уже проходят без изменений. | |||
| Кто понял этот подход понимает, что сжатие короткого стержня заканчивается через время $l/c$, где $c$ есть скорость бегущих волн в стержнях. | |||
| Через $2l/c$ короткий стержень разожмется и приобретет $\boxed{v}$ влево (в общих чертах: в короткий вошла частичная волна сжатия длинного стержня со своей противоположной скоростью и после отражения от свободной границы короткого успела дойти до границы касания с деформацией противоположного знака). | |||
| Далее записываем закон сохранения импульса системы: | |||
| $$ | |||
| Mv - mv = mv + MV, | |||
| $$ | |||
| где $V$ есть проекция конечной скорости центра масс длинного на направление начальной скорости длинного. | |||
| Отсюда | |||
| $$ | |||
| V = v\left(1 - 2\frac{m}{M}\right) | |||
| $$ | |||
| и с учетом $m/M = l/L$ для модуля: | |||
| $$ | |||
| \boxed{\left|V\right| = v \left|1 - 2l/L\right|.} | |||
| $$ | |||
| #### Литература | |||
| [1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| v_l = v,\quad v_L = v \left|1 - 2l/L\right|. | |||
| $$ | |||
| ещё строк без изменений 35 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.8.11.$ Два упругих стержня из одинакового материала и одинакового сечения, но разной длины $l$ и $L > l$ движутся навстречу друг другу со скоростью $v$. Определите скорость центров масс этих стержней после их столкновения. | $3.8.11.$ Два упругих стержня из одинакового материала и одинакового сечения, но разной длины $l$ и $L > l$ движутся навстречу друг другу со скоростью $v$. Определите скорость центров масс этих стержней после их столкновения. | ||
| @@ -4,9 +4,10 @@Условие | |||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| По идее задачи $3.8.1$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна имеет скорость частиц $v/2$ в соответствующем направлении. | По идее задачи $3.8.1$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна перемещается по стержню противоположно другой частичной и имеет скорость частиц $v/2$ в соответствующем направлении. | ||
| В момент касания эти частичные волны-змейки в месте контакта уже проходят без изменений. | В момент касания эти частичные волны-змейки в месте контакта уже проходят без изменений. | ||
| Кто понял этот подход понимает, что сжатие короткого стержня заканчивается через время $l/c$, где $c$ есть скорость бегущих волн в стержнях. | Кто понял этот подход понимает, что сжатие короткого стержня заканчивается через время $l/c$, где $c$ есть скорость бегущих волн в стержнях. | ||
| Через $2l/c$ короткий стержень разожмется и приобретет $\boxed{v}$ влево (в общих чертах: в короткий вошла частичная волна сжатия длинного стержня со своей противоположной скоростью и после отражения от свободной границы короткого успела дойти до границы касания с деформацией противоположного знака). | Через $2l/c$ короткий стержень разожмется и приобретет $\boxed{v}$ влево (в общих чертах: в короткий вошла частичная волна сжатия длинного стержня со своей противоположной скоростью и после отражения от свободной границы короткого успела дойти до границы касания с деформацией противоположного знака). | ||
| Далее записываем закон сохранения импульса системы: | Далее записываем закон сохранения импульса системы: | ||
| $$ | $$ | ||
| Mv - mv = mv + MV, | Mv - mv = mv + MV, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $V$ есть проекция конечной скорости центра масс длинного на направление начальной скорости длинного. | где $V$ есть проекция конечной скорости центра масс длинного на направление начальной скорости длинного. | ||
| Отсюда | Отсюда | ||
| $$ | $$ | ||
| V = v\left(1 - 2\frac{m}{M}\right) | V = v\left(1 - 2\frac{m}{M}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| и с учетом $m/M = l/L$ для модуля: | и с учетом $m/M = l/L$ для модуля: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{\left|V\right| = v \left|1 - 2l/L\right|.} | \boxed{\left|V\right| = v \left|1 - 2l/L\right|.} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | [1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_l = v,\quad v_L = v \left|1 - 2l/L\right|. | v_l = v,\quad v_L = v \left|1 - 2l/L\right|. | ||
| $$ | $$ | ||
| ещё строк без изменений 35 | |||