| @@ -1,27 +1,45 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $13.4.13.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $13.4.13.$ Перед сферическим зеркалом радиуса кривизны $R$, в фокусе которого находится точечный источник света $S$, на высоте $h$ над осью зеркала $SO$ помещена небольшая пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси. Найдите отношение освещенностей левой и правой сторон пластинки, если $h \ll R, l$. |
| | | |
| | + |  |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | ### Условие |
| | + | Пусть мощность точечного изотропного источника света равна $P$. Тогда его сила света одинакова по всем направлениям и равна $I = \frac{P}{4\pi}$. |
| | | |
| | − | $13.4.13.$ Перед сферическим зеркалом радиуса кривизны $R$, в фокусе которого находится точечный источник света $S$, на высоте $h$ над осью зеркала $SO$ помещена небольшая пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси. Найдите отношение освещенностей левой и правой сторон пластинки, если $h \ll R, l$. |
| | + | <b>1. Освещенность левой стороны пластинки ($E_L$)</b> |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | + | Свет от источника $S$ падает на левую сторону пластинки напрямую. Расстояние от источника до центра пластинки по теореме Пифагора равно $d = \sqrt{l^2 + h^2}$. |
| | | |
| | − | Пусть мощность источника света равна $P$. Тогда освещенность правой стороны пластинки такая же, как и у зеркала, то есть $\frac{P}{4\pi f^2} = \frac{P}{\pi R^2}$, поскольку световые лучи, отраженные от зеркала, параллельны главной оптической оси, так как источник находится в фокусе. |
| | + | Угол падения лучей $\theta$ (угол между нормалью к пластинке и направлением луча) можно выразить из геометрии: |
| | + | $$ \cos \theta = \frac{l}{d} = \frac{l}{\sqrt{l^2 + h^2}} $$ |
| | | |
| | − | С другой стороны, освещенность левой стороны пластинки равна: |
| | − | $$ \frac{P \cos \theta}{4\pi(l^2 + h^2)} = \frac{Pl}{4\pi(l^2 + h^2)^{3/2}} \approx \frac{P}{\pi(2l)^2} $$ |
| | − | где $\theta$ — угол между главной осью и линией, соединяющей источник и пластинку ($h \ll l$, но не равно нулю, поскольку пластинка не должна перекрывать свет, который должен дойти до зеркала и отразиться на правую сторону пластинки). |
| | + | По закону освещенности: |
| | + | $$ E_L = \frac{I \cos \theta}{d^2} = \frac{P}{4\pi} \cdot \frac{l}{(l^2 + h^2)^{3/2}} $$ |
| | | |
| | − | Таким образом, отношение освещенностей левой и правой сторон пластинки равно $\left(\frac{R}{2l}\right)^2$. |
| | + | По условию пластинка находится очень близко к оптической оси ($h \ll l$). Это позволяет пренебречь слагаемым $h^2$ в знаменателе: |
| | + | $$ E_L \approx \frac{Pl}{4\pi (l^2)^{3/2}} = \frac{Pl}{4\pi l^3} = \frac{P}{4\pi l^2} $$ |
| | | |
| | − | ### Ответ |
| | + | <b>2. Освещенность правой стороны пластинки ($E_R$)</b> |
| | | |
| | − | $$ \left(\frac{R}{2l}\right)^2 $$ |
| | + | На правую сторону падает свет, отраженный от сферического зеркала. Фокусное расстояние зеркала $f = \frac{R}{2}$. Поскольку источник находится строго в фокусе, после отражения формируется пучок лучей, параллельных главной оптической оси. |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | + | Для строгого вывода освещенности в таком пучке рассмотрим малый телесный угол $d\Omega$, в пределах которого источник излучает световой поток $d\Phi = I d\Omega$. Из геометрии параксиальных лучей площадь поперечного сечения отраженного параллельного пучка $dS$ связана с телесным углом соотношением $dS = f^2 d\Omega$. |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | Тогда освещенность отраженного пучка постоянна во всем его сечении и равна: |
| | + | $$ E_R = \frac{d\Phi}{dS} = \frac{I d\Omega}{f^2 d\Omega} = \frac{I}{f^2} = \frac{P}{4\pi f^2} $$ |
| | + | |
| | + | Подставляя фокусное расстояние сферического зеркала $f = \frac{R}{2}$, получаем: |
| | + | $$ E_R = \frac{P}{4\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{P}{\pi R^2} $$ |
| | + | |
| | + | (Пластинка не перекрывает свет, идущий от источника к зеркалу, так как $h > 0$, но условие $h \ll R$ позволяет считать отраженные лучи строго параксиальными). |
| | + | |
| | + | <b>3. Отношение освещенностей</b> |
| | + | |
| | + | Разделим освещенность левой стороны на освещенность правой: |
| | + | $$ \frac{E_L}{E_R} = \frac{\frac{P}{4\pi l^2}}{\frac{P}{\pi R^2}} = \frac{\pi R^2}{4\pi l^2} = \frac{R^2}{4l^2} = \left(\frac{R}{2l}\right)^2 $$ |
| | + | |
| | + | ### Ответ |
| | + | |
| | + | $$ \frac{E_L}{E_R} = \left(\frac{R}{2l}\right)^2 $$ |
