Правка раздела «Решение»

Valter правка от 4 сент. 2026 г., 15:35

Посмотреть решение История

правка #20569 предыдущая #15100 ← раньше

ru/12.1.8.md +1 −1

			### Условие

			$12.1.8.$ Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного
			электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и
			магнитной проницаемостью $\mu$ равна $c/√\mu\varepsilon$.

			### Решение
			Решим уравнения Максвелла для однородной среды без зарядов и токов. Тогда уравнения выглядят:
			$$
			divE = 0
			$$
			$$
			divB =0
			$$
			$$
		@@ -16,7 +16,7 @@Решение
			rotE = -\frac{\partial B}{\partial t}
			$$
			$$
		−	rotB = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}
		+	rotB = \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}
			$$
			Пусть волна распространяется по оси $z$. Тогда уравнения примут вид:
			$$
			\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}
			$$
			$$
			\frac{\partial B_y}{\partial z} = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}
			$$
			Если продифференцировать первое уравнение по времени и подставим во второе, то получим уравнение для распространения волны:
			$$
			\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} =
			\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}
			$$
			Уравнение в обычном виде:
			$$
			\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} =
			\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}
			$$
			Тогда скорость её распространения равна:
			$$
			v = \frac{1}{\sqrt{\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}
			$$
			#### Ответ

			$$
			\boxed{v = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}}
			$$
		ещё строк без изменений 24

	### Условие		### Условие

	$12.1.8.$ Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного		$12.1.8.$ Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного
	электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и		электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и
	магнитной проницаемостью $\mu$ равна $c/√\mu\varepsilon$.		магнитной проницаемостью $\mu$ равна $c/√\mu\varepsilon$.

	### Решение		### Решение
	Решим уравнения Максвелла для однородной среды без зарядов и токов. Тогда уравнения выглядят:		Решим уравнения Максвелла для однородной среды без зарядов и токов. Тогда уравнения выглядят:
	$$		$$
	divE = 0		divE = 0
	$$		$$
	$$		$$
	divB =0		divB =0
	$$		$$
	$$		$$
	@@ -16,7 +16,7 @@Решение
	rotE = -\frac{\partial B}{\partial t}		rotE = -\frac{\partial B}{\partial t}
	$$		$$
	$$		$$
	rotB = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}		rotB = \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}
	$$		$$
	Пусть волна распространяется по оси $z$. Тогда уравнения примут вид:		Пусть волна распространяется по оси $z$. Тогда уравнения примут вид:
	$$		$$
	\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}		\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}
	$$		$$
	$$		$$
	\frac{\partial B_y}{\partial z} = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}		\frac{\partial B_y}{\partial z} = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}
	$$		$$
	Если продифференцировать первое уравнение по времени и подставим во второе, то получим уравнение для распространения волны:		Если продифференцировать первое уравнение по времени и подставим во второе, то получим уравнение для распространения волны:
	$$		$$
	\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} =		\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} =
	\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}		\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}
	$$		$$
	Уравнение в обычном виде:		Уравнение в обычном виде:
	$$		$$
	\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} =		\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} =
	\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}		\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}
	$$		$$
	Тогда скорость её распространения равна:		Тогда скорость её распространения равна:
	$$		$$
	v = \frac{1}{\sqrt{\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}		v = \frac{1}{\sqrt{\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}
	$$		$$
	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	\boxed{v = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}}		\boxed{v = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}}
	$$		$$
	ещё строк без изменений 24