Edit to “Решение”
ru/12.1.8.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $12.1.8.$ Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного | |||
| электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и | |||
| магнитной проницаемостью $\mu$ равна $c/√\mu\varepsilon$. | |||
| ### Решение | |||
| Решим уравнения Максвелла для однородной среды без зарядов и токов. Тогда уравнения выглядят: | |||
| $$ | |||
| divE = 0 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| divB =0 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| @@ -16,7 +16,7 @@Решение | |||
| rotE = -\frac{\partial B}{\partial t} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | rotB = | ||
| + | rotB = \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t} | ||
| $$ | |||
| Пусть волна распространяется по оси $z$. Тогда уравнения примут вид: | |||
| $$ | |||
| \frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \frac{\partial B_y}{\partial z} = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t} | |||
| $$ | |||
| Если продифференцировать первое уравнение по времени и подставим во второе, то получим уравнение для распространения волны: | |||
| $$ | |||
| \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = | |||
| \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} | |||
| $$ | |||
| Уравнение в обычном виде: | |||
| $$ | |||
| \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = | |||
| \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} | |||
| $$ | |||
| Тогда скорость её распространения равна: | |||
| $$ | |||
| v = \frac{1}{\sqrt{\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| \boxed{v = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}} | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 24 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $12.1.8.$ Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного | $12.1.8.$ Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного | ||
| электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и | электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и | ||
| магнитной проницаемостью $\mu$ равна $c/√\mu\varepsilon$. | магнитной проницаемостью $\mu$ равна $c/√\mu\varepsilon$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Решим уравнения Максвелла для однородной среды без зарядов и токов. Тогда уравнения выглядят: | Решим уравнения Максвелла для однородной среды без зарядов и токов. Тогда уравнения выглядят: | ||
| $$ | $$ | ||
| divE = 0 | divE = 0 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| divB =0 | divB =0 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -16,7 +16,7 @@Решение | |||
| rotE = -\frac{\partial B}{\partial t} | rotE = -\frac{\partial B}{\partial t} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| rotB = |
rotB = \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t} | ||
| $$ | $$ | ||
| Пусть волна распространяется по оси $z$. Тогда уравнения примут вид: | Пусть волна распространяется по оси $z$. Тогда уравнения примут вид: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t} | \frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{\partial B_y}{\partial z} = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t} | \frac{\partial B_y}{\partial z} = -\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t} | ||
| $$ | $$ | ||
| Если продифференцировать первое уравнение по времени и подставим во второе, то получим уравнение для распространения волны: | Если продифференцировать первое уравнение по времени и подставим во второе, то получим уравнение для распространения волны: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = | \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = | ||
| \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} | \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Уравнение в обычном виде: | Уравнение в обычном виде: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = | \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = | ||
| \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} | \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Тогда скорость её распространения равна: | Тогда скорость её распространения равна: | ||
| $$ | $$ | ||
| v = \frac{1}{\sqrt{\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}} | v = \frac{1}{\sqrt{\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{v = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}} | \boxed{v = \frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}} | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 24 | |||