Решение задачи: скорость звука в различных средах

Дано:

$$\beta_{\mathrm{рт}}=3\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\mathrm{рт}}=13.6\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}$$

$$\beta_{\mathrm{вод}}=5\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\mathrm{вод}}=1.0\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}$$

$$\beta_{\mathrm{возд}}=0.71\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\mathrm{возд}}=1.2\,\mathrm{кг/м^3}$$

Основная формула:

$$v=\sqrt{\frac{1}{\beta\rho}}$$

где $\beta$ — сжимаемость среды, а $\rho$ — плотность среды.

Переведём сжимаемость из $\mathrm{атм}^{-1}$ в $\mathrm{Па}^{-1}$.

$$1\,\mathrm{атм}=101325\,\mathrm{Па}$$

Следовательно,

$$1\,\mathrm{атм}^{-1}=\frac{1}{101325}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

1. Ртуть

$$\beta_{\mathrm{рт}}= \frac{3\cdot10^{-5}}{101325} \approx2.96\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

Используем формулу:

$$v_{\mathrm{рт}}= \sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{рт}}\rho_{\mathrm{рт}}}}$$

Подставляем значения:

$$v_{\mathrm{рт}}= \sqrt{\frac{1} {(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3)}}$$

Сначала вычислим знаменатель:

$$(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3) \approx4.0256\cdot10^{-6}$$

Поэтому:

$$v_{\mathrm{рт}}= \sqrt{\frac{1}{4.0256\cdot10^{-6}}}$$

$$v_{\mathrm{рт}}\approx498\,\mathrm{м/с}$$

Ответ для ртути:

$$\boxed{v_{\mathrm{рт}}\approx500\,\mathrm{м/с}}$$

2. Вода

$$\beta_{\mathrm{вод}}= \frac{5\cdot10^{-5}}{101325} \approx4.93\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

Используем формулу:

$$v_{\mathrm{вод}}= \sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{вод}}\rho_{\mathrm{вод}}}}$$

Подставляем значения:

$$v_{\mathrm{вод}}= \sqrt{\frac{1} {(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3)}}$$

Вычисляем знаменатель:

$$(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3) =4.93\cdot10^{-7}$$

Следовательно:

$$v_{\mathrm{вод}}= \sqrt{\frac{1}{4.93\cdot10^{-7}}}$$

$$v_{\mathrm{вод}}\approx1424\,\mathrm{м/с}$$

Ответ для воды:

$$\boxed{v_{\mathrm{вод}}\approx1420\,\mathrm{м/с}}$$

3. Воздух

$$\beta_{\mathrm{возд}}= \frac{0.71}{101325} \approx7.01\cdot10^{-6}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

Используем формулу:

$$v_{\mathrm{возд}}= \sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{возд}}\rho_{\mathrm{возд}}}}$$

Подставляем значения:

$$v_{\mathrm{возд}}= \sqrt{\frac{1} {(7.01\cdot10^{-6})(1.2)}}$$

Вычисляем знаменатель:

$$(7.01\cdot10^{-6})(1.2) =8.412\cdot10^{-6}$$

Следовательно:

$$v_{\mathrm{возд}}= \sqrt{\frac{1}{8.412\cdot10^{-6}}}$$

$$v_{\mathrm{возд}}\approx345\,\mathrm{м/с}$$

Ответ для воздуха:

$$\boxed{v_{\mathrm{возд}}\approx345\,\mathrm{м/с}}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{ v_{\mathrm{рт}}\approx500\,\mathrm{м/с},\qquad v_{\mathrm{вод}}\approx1420\,\mathrm{м/с},\qquad v_{\mathrm{возд}}\approx345\,\mathrm{м/с} }$$