Условие:

Сжимаемость ртути, воды и воздуха равна соответственно 3 · 10⁻⁵, 5 · 10⁻⁵ и 0,71 атм⁻¹, а их плотность — соответственно 13,6 · 10³, 1 · 10³ и 1,2 кг/м³.
Определите скорость звука в этих средах.

$$Дано: \beta_{\mathrm{Hg}}=3\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\mathrm{Hg}}=13.6\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}$$
$$\beta_{\mathrm{H_2O}}=5\cdot10^{-5}\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\mathrm{H_2O}}=1.0\cdot10^3\,\mathrm{кг/м^3}$$
$$\beta_{\text{воздух}}=0.71\,\mathrm{атм}^{-1},\qquad \rho_{\text{воздух}}=1.2\,\mathrm{кг/м^3}$$

Основная формула:
$$v=\sqrt{\frac{1}{\beta\rho}}$$
где $\beta$ — сжимаемость среды, а $\rho$ — плотность среды.

Переведём сжимаемость из $\mathrm{атм}^{-1}$ в $\mathrm{Па}^{-1}$:
$$1\,\mathrm{атм}=101325\,\mathrm{Па} \implies 1\,\mathrm{атм}^{-1}=\frac{1}{101325}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

1. Ртуть

$$\beta_{\mathrm{Hg}}=\frac{3\cdot10^{-5}}{101325} \approx 2.96\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

Используем формулу:
$$v_{\mathrm{Hg}}=\sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{Hg}}\rho_{\mathrm{Hg}}}}$$

Подставляем значения:
$$v_{\mathrm{Hg}}=\sqrt{\frac{1}{(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3)}}$$

Вычисляем знаменатель:
$$(2.96\cdot10^{-10})(13.6\cdot10^3) \approx 4.0256\cdot10^{-6}$$

Следовательно:
$$v_{\mathrm{Hg}}=\sqrt{\frac{1}{4.0256\cdot10^{-6}}} \approx 498\,\mathrm{м/с}$$

Ответ для ртути:
$$v_{\mathrm{Hg}}\approx 500\,\mathrm{м/с}$$

2. Вода ($\mathrm{H_2O}$)

$$\beta_{\mathrm{H_2O}}=\frac{5\cdot10^{-5}}{101325} \approx 4.93\cdot10^{-10}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

Используем формулу:
$$v_{\mathrm{H_2O}}=\sqrt{\frac{1}{\beta_{\mathrm{H_2O}}\rho_{\mathrm{H_2O}}}}$$

Подставляем значения:
$$v_{\mathrm{H_2O}}=\sqrt{\frac{1}{(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3)}}$$

Вычисляем знаменатель:
$$(4.93\cdot10^{-10})(1.0\cdot10^3) = 4.93\cdot10^{-7}$$

Следовательно:
$$v_{\mathrm{H_2O}}=\sqrt{\frac{1}{4.93\cdot10^{-7}}} \approx 1424\,\mathrm{м/с}$$

Ответ для воды:
$$v_{\mathrm{H_2O}}\approx 1420\,\mathrm{м/с}$$

3. Воздух

$$\beta_{\text{воздух}}=\frac{0.71}{101325} \approx 7.01\cdot10^{-6}\,\mathrm{Па}^{-1}$$

Используем формулу:
$$v_{\text{воздух}}=\sqrt{\frac{1}{\beta_{\text{воздух}}\rho_{\text{воздух}}}}$$

Подставляем значения:
$$v_{\text{воздух}}=\sqrt{\frac{1}{(7.01\cdot10^{-6})(1.2)}}$$

Вычисляем знаменатель:
$$(7.01\cdot10^{-6})(1.2) = 8.412\cdot10^{-6}$$

Следовательно:
$$v_{\text{воздух}}=\sqrt{\frac{1}{8.412\cdot10^{-6}}} \approx 345\,\mathrm{м/с}$$

Ответ для воздуха:
$$v_{\text{воздух}}\approx 345\,\mathrm{м/с}$$

Ответ:
$$v_{\mathrm{Hg}}\approx500\,\mathrm{м/с},\qquad v_{\mathrm{H_2O}}\approx1420\,\mathrm{м/с},\qquad v_{\text{воздух}}\approx345\,\mathrm{м/с}$$