| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.8.14.$ Длина волны, прошедшей через плоскую границу раздела из одной | | $3.8.14.$ Длина волны, прошедшей через плоскую границу раздела из одной |
| среды во вторую, сокращается во столько же раз, во сколько уменьшается во | | среды во вторую, сокращается во столько же раз, во сколько уменьшается во |
| второй среде скорость распространения волны. Используя этот факт, а также | | второй среде скорость распространения волны. Используя этот факт, а также |
| закон сохранения энергии и импульса, определите, во сколько раз амплитуда | | закон сохранения энергии и импульса, определите, во сколько раз амплитуда |
| отраженной волны и волны, прошедшей во вторую среду, меньше амплитуды | | отраженной волны и волны, прошедшей во вторую среду, меньше амплитуды |
| падающей волны. Плотность и модуль упругости сред равны соответственно $\rho_{1}$, | | падающей волны. Плотность и модуль упругости сред равны соответственно $\rho_{1}$, |
| $E_1$,$\rho _2$, $E_2$. | | $E_1$,$\rho _2$, $E_2$. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Используя этот факт можно вывести что при прохождении частота волны не меняется, а отношение амплитуд волн равно отношению амплитуд их скоростей $\frac{u_1}{u_2} = \frac{v_1}{v_2}$ . Так как $c_1 = \lambda_{1} \nu_{1}$ , $c_2 = \lambda_{2} \nu_{2}$ , а по условию $\lambda_{2} = \lambda_{1} \frac{c_2}{c_1}$ , то $\nu_1 = \nu_2$ или $\omega_1 = \omega_2$ . Как мы знаем для волны амплитуда и максимальная скорость связны отношением $v=A \omega$ , и это доказывает наше утверждение. Под потоком энергии будем понимать энергию, которая падает на единичную площадь в единицу времени, его формула будет $W=\rho c v$ , и тем же образом определим поток импульса , формула которого будет $w = \rho c v^2$ , где $\rho , v , c$-плотность среды , скорость частиц среды , скорость звука в данной среде . Хотя в разные моменты времени скорости отдельных частиц среды различны, в формулах удобно использовать максимальную скорость частиц для описания волны. Ясно , что поток импульса и энергии сохраняется и потому имеем | | Используя этот факт можно вывести что при прохождении частота волны не меняется, а отношение амплитуд волн равно отношению амплитуд их скоростей $\frac{u_1}{u_2} = \frac{v_1}{v_2}$ . Так как $c_1 = \lambda_{1} \nu_{1}$ , $c_2 = \lambda_{2} \nu_{2}$ , а по условию $\lambda_{2} = \lambda_{1} \frac{c_2}{c_1}$ , то $\nu_1 = \nu_2$ или $\omega_1 = \omega_2$ . Как мы знаем для волны амплитуда и максимальная скорость связны отношением $v=A \omega$ , и это доказывает наше утверждение. Под потоком энергии будем понимать энергию, которая падает на единичную площадь в единицу времени, его формула будет $W=\rho c v$ , и тем же образом определим поток импульса , формула которого будет $w = \rho c v^2$ , где $\rho , v , c$-плотность среды , скорость частиц среды , скорость звука в данной среде . Хотя в разные моменты времени скорости отдельных частиц среды различны, в формулах удобно использовать максимальную скорость частиц для описания волны. Ясно , что поток импульса и энергии сохраняется и потому имеем |
| | | |
| $\begin{cases} | | $\begin{cases} |
| W_0 = W_t + W_r ;\\ | | W_0 = W_t + W_r ;\\ |
| w_0 = w_t - w_r | | w_0 = w_t - w_r |
| \end{cases}$ | | \end{cases}$ |
| , где буквой $r$ обозначена отраженная волна , а $t$ прошедшая волна. Подставляя значения потоков , имеем | | , где буквой $r$ обозначена отраженная волна , а $t$ прошедшая волна. Подставляя значения потоков , имеем |
| $\begin{cases} | | $\begin{cases} |
| \rho_1 c_1 (1-(\frac{v_r}{v_0})^2) = \rho_2 c_2 (\frac{v_t}{v_0})^2 ;\\ | | \rho_1 c_1 (1-(\frac{v_r}{v_0})^2) = \rho_2 c_2 (\frac{v_t}{v_0})^2 ;\\ |
| \rho_1 c_1 (1+\frac{v_r}{v_0}) = \rho_2 c_2 (\frac{v_t}{v_0}) | | \rho_1 c_1 (1+\frac{v_r}{v_0}) = \rho_2 c_2 (\frac{v_t}{v_0}) |
| \end{cases}$ | | \end{cases}$ |
| из этого получаем $v_r = v_0 \frac{\rho_2 c_2 - \rho_1 c_1}{\rho_2 c_2 + \rho_1 c_1}$, $v_t = v_0 \frac{2\rho_1 c_1}{\rho_2 c_2 + \rho_1 c_1}$ , и используя формулу $c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ , получим окончательный ответ. | | из этого получаем $v_r = v_0 \frac{\rho_2 c_2 - \rho_1 c_1}{\rho_2 c_2 + \rho_1 c_1}$, $v_t = v_0 \frac{2\rho_1 c_1}{\rho_2 c_2 + \rho_1 c_1}$ , и используя формулу $c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ , получим окончательный ответ. |
