3.6.26∗. В бегущей волне плотность $\rho$ газа плавно убывает до значения $\rho_0$ плотности невозмущенного газа. Давление газа $P \sim \rho^\gamma$ ($\gamma > 1$). Объясните, как из такой волны развивается ударная волна сжатия. Почему не образуется ударных волн разрежения?
К задаче $3.6.26$
Решение
Разобъем волну на слои $dx$ от координаты $0$ до $x_0$, где $\rho_0$. Каждый слой относительно следующего характеризуется малым возмущением и можно применить к произвольному слою формулу теории волн в газах
$$с^2 = \frac{dP}{d\rho}.$$
C учетом $P = k\rho^\gamma$, где $k$ есть размерный коэффициент пропорциональности, в произвольном слое
$$с^2 = k\gamma\rho^{\gamma - 1}.$$
Отсюда скорость распространения возмущений слоев с большей плотностью больше, и волна сгущается. Образуется скачок плотности на малом расстоянии, что называется ударной волной.
В случае разрежения по этой причине волна расплывается.
[2] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 2003.
Ответ
При сжатии, плавно убывающем к фронту волны, скорость звука больше у более удаленных участков, возмущения среды догоняют друг друга. В случае разрежения у дальних участков скорость звука меньше, они отстают, возмущение расплывается.
