Решение

Главная идея метода заключается в том, что фаза плоской волны $\Phi = \omega t - kx$ является лоренц-инвариантом. Из этого следует, что частота $\nu$ и волновое число $k = \nu/c$ преобразуются при переходе между инерциальными системами отсчета по тем же формулам преобразований Лоренца, что и время $t$ и координата $x$.

Алгоритм решения для обеих задач един:

1. Переход из лабораторной системы ($K$) в систему отсчета покоя движущегося объекта ($K'$).
2. Анализ процесса (отражение или преломление) в системе $K'$, где граница неподвижна.
3. Обратный переход из $K'$ в лабораторную систему $K$ для измененной волны.

Решение задачи 14.2.5 (Отражение от зеркала)

Пусть падающая волна летит вдоль оси $x$. Ее частота $\nu$, волновое число $k = \nu/c$. Зеркало движется навстречу волне со скоростью $v = \beta c$. Проекция скорости зеркала в системе $K$ равна $V_x = -\beta c$.

Шаг 1. Переход в систему зеркала $K'$.
В системе покоя зеркала $K'$ частота падающей волны $\nu'$ определяется формулой релятивистского эффекта Доплера для движения навстречу (что прямо следует из преобразований Лоренца):
$$\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Шаг 2. Отражение в системе $K'$.
В системе $K'$ зеркало неподвижно. При нормальном отражении от неподвижного идеального зеркала частота волны сохраняется, а направление распространения меняется на противоположное.
Отраженная частота: $\nu'_{ref} = \nu'$.
Отраженное волновое число (с учетом направления вдоль оси $-x$): $k'_{ref} = -\frac{\nu'}{c}$.

Шаг 3. Возврат в лабораторную систему $K$.
Система $K'$ (зеркало) движется относительно $K$ со скоростью $V = -\beta c$.
Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты отраженной волны:
$$\nu_{ref} = \gamma (\nu'_{ref} + V k'_{ref}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu' + (-\beta c) \left(-\frac{\nu'}{c}\right) \right)$$
$$\nu_{ref} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \nu' (1 + \beta) = \nu' \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$
Подставляем $\nu'$ из Шага 1:
$$\nu_{ref} = \left( \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \right) \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \nu \frac{1 + \beta}{1 - \beta}$$
Изменение частоты волны $\Delta \nu$:
$$\Delta \nu = \nu_{ref} - \nu = \nu \frac{1 + \beta}{1 - \beta} - \nu = \nu \frac{2\beta}{1 - \beta}$$

Решение задачи 14.2.6 (Волна внутри диэлектрика)

Шаг 1. Переход в систему диэлектрика $K'$.
Аналогично первой задаче, в системе покоя диэлектрика $K'$ частота падающей волны равна:
$$\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Шаг 2. Вход в диэлектрик в системе $K'$.
В системе $K'$ граница диэлектрика неподвижна. При прохождении через неподвижную границу сред частота волны не изменяется:
$$\nu'_{in} = \nu'$$
Волна продолжает распространяться в том же направлении (вдоль $+x$). Фазовая скорость в диэлектрике равна $c/n$, поэтому волновое число внутри равно:
$$k'_{in} = \frac{\nu'_{in}}{c/n} = n \frac{\nu'}{c}$$

Шаг 3. Возврат в лабораторную систему $K$.
Скорость системы $K'$ относительно $K$ по-прежнему $V = -\beta c$.
Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты прошедшей волны:
$$\nu_{in} = \gamma (\nu'_{in} + V k'_{in}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu' + (-\beta c) \left(n \frac{\nu'}{c}\right) \right)$$
$$\nu_{in} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \nu' (1 - n\beta)$$
Подставляем выражение для $\nu'$:
$$\nu_{in} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \right) (1 - n\beta) = \nu \frac{1 - n\beta}{1 - \beta}$$
Найдем разницу частот $\Delta \nu$ плоской волны вне ($\nu$) и внутри ($\nu_{in}$) диэлектрика:
$$\Delta \nu = \nu - \nu_{in} = \nu - \nu \frac{1 - n\beta}{1 - \beta} = \nu \frac{1 - \beta - 1 + n\beta}{1 - \beta} = \nu \beta \frac{n - 1}{1 - \beta}$$