Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 18 сент. 2026 г., 09:20

правка #20826 предыдущая #20825 ← раньше позже →

ru/14.4.26.md +31 −3

		@@ -1,11 +1,39 @@
			### Условие

		−	$14.4.26.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$14.4.26.$ Космический корабль входит в ионосферу Земли со скоростью $\upsilon$, которая много больше тепловых скоростей протонов ионосферы. Какой должна быть минимальная толщина магнитного экранного слоя, защищающая лобовую поверхность корабля от протонов, если магнитная индукция $B$ направлена параллельно поверхности?

		+	![К задаче $14.4.26$\|159x172, 50%](../../img/14.4.26/14.4.26.png)
		+
			### Решение

		−	asd
		+	В системе отсчета, связанной с космическим кораблем, защитный слой толщиной $l$ неподвижен. Протоны ионосферы налетают на него перпендикулярно к поверхности со скоростью $\upsilon$. Так как тепловая скорость протонов много меньше $\upsilon$, их начальное движение можно считать строго направленным.

		+	В системе отсчета корабля магнитное поле $\vec{B}$ постоянно во времени, поэтому оно не совершает работы над протоном. Это означает, что модуль его скорости $\upsilon$ и лоренц-фактор $\gamma$ остаются неизменными на протяжении всего движения в слое.
		+
		+	Второй закон Ньютона в системе СГС:
		+
		+	$$\frac{d \vec p}{dt}=\frac{e}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{1}$$
		+
		+	Релятивистский импульс: $\vec p=\gamma m_{e}\vec\upsilon$. Так как $\gamma=\text{const}$, то:
		+
		+	$$\frac{d \vec p}{dt}=\gamma m_{e}\frac{d \vec\upsilon}{dt} \tag{2}$$
		+
		+	Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, протон движется по дуге окружности с центростремительным ускорением:
		+
		+	$$\frac{d \vec\upsilon}{dt}=\frac{\upsilon^{2}}{R} \tag{3}$$
		+
		+	Подставим (2) и (3) в (1):
		+
		+	$$\gamma m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{e\upsilon B}{c}$$
		+
		+	Отсюда:
		+
		+	$$R=\frac{\gamma m_{e}\upsilon c}{eB}=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{4}$$
		+
		+	Чтобы протон не достиг обшивки корабля, максимальная глубина его проникновения в магнитный слой не должна превышать толщину этого слоя:
		+
		+	$$l=R=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$l=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$

	@@ -1,11 +1,39 @@
	### Условие		### Условие

	$14.4.26.$ [Вставьте условие задачи]		$14.4.26.$ Космический корабль входит в ионосферу Земли со скоростью $\upsilon$, которая много больше тепловых скоростей протонов ионосферы. Какой должна быть минимальная толщина магнитного экранного слоя, защищающая лобовую поверхность корабля от протонов, если магнитная индукция $B$ направлена параллельно поверхности?

			![К задаче $14.4.26$\|159x172, 50%](../../img/14.4.26/14.4.26.png)

	### Решение		### Решение

	asd		В системе отсчета, связанной с космическим кораблем, защитный слой толщиной $l$ неподвижен. Протоны ионосферы налетают на него перпендикулярно к поверхности со скоростью $\upsilon$. Так как тепловая скорость протонов много меньше $\upsilon$, их начальное движение можно считать строго направленным.

			В системе отсчета корабля магнитное поле $\vec{B}$ постоянно во времени, поэтому оно не совершает работы над протоном. Это означает, что модуль его скорости $\upsilon$ и лоренц-фактор $\gamma$ остаются неизменными на протяжении всего движения в слое.

			Второй закон Ньютона в системе СГС:

			$$\frac{d \vec p}{dt}=\frac{e}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{1}$$

			Релятивистский импульс: $\vec p=\gamma m_{e}\vec\upsilon$. Так как $\gamma=\text{const}$, то:

			$$\frac{d \vec p}{dt}=\gamma m_{e}\frac{d \vec\upsilon}{dt} \tag{2}$$

			Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, протон движется по дуге окружности с центростремительным ускорением:

			$$\frac{d \vec\upsilon}{dt}=\frac{\upsilon^{2}}{R} \tag{3}$$

			Подставим (2) и (3) в (1):

			$$\gamma m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{e\upsilon B}{c}$$

			Отсюда:

			$$R=\frac{\gamma m_{e}\upsilon c}{eB}=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{4}$$

			Чтобы протон не достиг обшивки корабля, максимальная глубина его проникновения в магнитный слой не должна превышать толщину этого слоя:

			$$l=R=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$l=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$