Правка разделов «Решение», «а. Нахождение установившейся разности по», «б. Изменение температуры диэлектрика»

Valter правка от
Посмотреть решение История
правка #20864 предыдущая #20858 ← раньше позже →
ru/6.6.27.md +86 −3
@@ -9,8 +9,91 @@Условие
### Решение
+В задаче рассматривается эффект диэлектрической абсорбции. За счет инерционности поляризации связанные заряды не успевают перестроиться при быстром изменении напряжения на обкладках.
+#### а. Нахождение установившейся разности потенциалов
+
+---
+
+<b>1. Начальное состояние</b>\
+Пусть $C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ — геометрическая емкость пустого конденсатора.
+До замыкания ключа конденсатор заряжен до напряжения $V$. Полный свободный заряд на обкладках:
+
+
+$$q_0 = \varepsilon C_0 V$$
+
+
+Связанный (поляризационный) заряд на поверхности диэлектрика определяется поляризованностью среды и равен:
+
+
+$$q_b = -(\varepsilon - 1) C_0 V$$
+
+<b>2. Быстрое замыкание ключа</b>\
+При кратковременном замыкании ключа разность потенциалов между обкладками падает до нуля ($V = 0$). Следовательно, макроскопическое электрическое поле внутри конденсатора исчезает ($E = 0$).
+По условию поляризация диэлектрика не успевает измениться, поэтому связанный заряд $q_b$ остается прежним, оставаясь «замороженным» в объеме среды. Чтобы полное поле внутри равнялось нулю, на обкладках должен остаться такой свободный заряд $q_1$, который своим полем полностью скомпенсирует поле связанных зарядов:
+
+
+$$E = \frac{q_1 + q_b}{\varepsilon_0 S} = 0 \implies q_1 = -q_b = (\varepsilon - 1) C_0 V$$
+
+<b>3. После размыкания</b>\
+Ключ размыкают, изолируя свободный заряд $q_1$ на обкладках. С течением времени дипольные моменты в диэлектрике начинают дезориентироваться, приходя в тепловое равновесие со свободным зарядом. В новом установившемся состоянии связь между зарядом и напряжением вновь описывается статической диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$.
+Конечная разность потенциалов:
+
+
+$$V_1 = \frac{q_1}{\varepsilon C_0} = \frac{(\varepsilon - 1) C_0 V}{\varepsilon C_0} = V \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}$$
+
+---
+
+#### б. Изменение температуры диэлектрика
+
+Процесс релаксации (дезориентации диполей) сопровождается выделением тепла $Q$, равным разности энергий системы сразу после размыкания ключа ($W_1$) и в конечном установившемся состоянии ($W_2$).
+
+<b>1. Энергия системы сразу после размыкания</b>\
+Макроскопическое поле равно нулю, поэтому энергия электрического поля отсутствует. Однако энергия запасена в самом поляризованном диэлектрике (потенциальная энергия упруго ориентированных диполей).
+Объемная плотность энергии поляризации равна:
+
+$$w = \frac{P^2}{2(\varepsilon - 1)\varepsilon_0}$$
+
+Учитывая, что начальная поляризованность $P = (\varepsilon - 1)\varepsilon_0 \frac{V}{d}$, полная начальная энергия равна:
+
+
+$$W_1 = \frac{P^2}{2(\varepsilon - 1)\varepsilon_0} S d = \frac{(\varepsilon - 1)^2 \varepsilon_0^2 \frac{V^2}{d^2}}{2(\varepsilon - 1)\varepsilon_0} S d = \frac{1}{2}(\varepsilon - 1)\frac{\varepsilon_0 S}{d}V^2 = \frac{1}{2}(\varepsilon - 1)C_0 V^2$$
+
+<b>2. Конечная энергия системы</b>\
+После завершения релаксации конденсатор обладает зарядом $q_1$ и статической емкостью $\varepsilon C_0$:
+
+
+$$W_2 = \frac{q_1^2}{2 \varepsilon C_0} = \frac{(\varepsilon - 1)^2 C_0^2 V^2}{2 \varepsilon C_0} = \frac{(\varepsilon - 1)^2}{2 \varepsilon} C_0 V^2$$
+
+<b>3. Тепловой баланс</b>\
+Выделившееся тепло $Q = W_1 - W_2$:
+
+
+$$Q = \frac{1}{2} C_0 V^2 \left( \varepsilon - 1 - \frac{(\varepsilon - 1)^2}{\varepsilon} \right) = \frac{\varepsilon - 1}{2 \varepsilon} C_0 V^2$$
+
+
+Распишем емкость $C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ и приравняем тепло к энергии нагрева диэлектрика $Q = c m \Delta T$, где масса $m = \rho S d$:
+
+
+$$c \rho S d \Delta T = \frac{\varepsilon - 1}{2 \varepsilon} \frac{\varepsilon_0 S}{d} V^2$$
+
+
+Отсюда выражаем изменение температуры:
+
+
+$$\Delta T = \frac{\varepsilon - 1}{2 \varepsilon} \frac{\varepsilon_0 V^2}{c \rho d^2}$$
+
+<b>4. Численный расчет</b>\
+В условии задачи для воды ($\varepsilon = 81$) указана удельная теплоемкость $c = 4,18$ Дж/(кг·К).
+
+<i>Примечание: это известная опечатка в задачнике, реальная теплоемкость воды $4180$ Дж/(кг·К). Однако расчет проведем строго по числам, данным в условии.</i>
+
+
+Подставляем значения: $\varepsilon = 81$, $\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м, $V = 300$ В, $c = 4,18$ Дж/(кг·К), $\rho = 10^3$ кг/м³, $d = 10^{-3}$ м.
+
+
+$$\Delta T = \frac{80}{162} \cdot \frac{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 300^2}{4,18 \cdot 10^3 \cdot (10^{-3})^2} = \frac{80}{162} \cdot \frac{7,965 \cdot 10^{-7}}{4,18 \cdot 10^{-3}} \approx 9,4 \cdot 10^{-5} \text{ К}$$
+
#### Ответ
−$$
−\boxed{a. \ V'=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}V; \quad b. \ \Delta T \sim 10^{-5}K}
−$$
+а. $V_1 = V \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}$\
+б. $\Delta T = \frac{\varepsilon - 1}{2 \varepsilon} \frac{\varepsilon_0 V^2}{c \rho d^2} \approx 9,4 \cdot 10^{-5} \text{ К}$