Новое решение

Valter правка от
Посмотреть решение История
правка #22154
ru/8.2.32.md +139 −0
@@ -0,0 +1,139 @@
+### Условие
+
+$8.2.32^\*.$ При разрядке конденсатора, заряд которого $q$, через электролитическую ванну с подкисленной водой выделяется масса $m$ гремучего газа. Масса выделяющегося при электролизе вещества зависит только от прошедшего заряда. Значит, разрядив конденсатор через $k$ последовательно соединенных ванн, получим массу $km$ гремучего газа. Сжигая этот газ, получим много энергии. При достаточно большом $k$ эта энергия превзойдет первоначальную энергию заряженного конденсатора! Следовательно, в чем-то наши рассуждения ошибочны. Найдите эту ошибку.
+
+### Решение
+
+Пусть ёмкость конденсатора равна $C$, а его первоначальный заряд — $q$. Тогда начальное напряжение на конденсаторе равно
+
+$$
+U_0=\frac{q}{C}.
+$$
+
+Согласно закону Фарадея, масса вещества, выделяющегося при электролизе, действительно пропорциональна заряду, прошедшему через электролит:
+
+$$
+m=\beta Q,
+$$
+
+где $\beta$ — электрохимический эквивалент, а $Q$ — заряд, прошедший через ванну.
+
+Поэтому на первый взгляд может показаться, что если соединить последовательно $k$ одинаковых электролитических ванн, то через каждую из них пройдёт один и тот же заряд $q$, и в каждой выделится масса $m$. Тогда суммарная масса гремучего газа была бы
+
+$$
+m_{\Sigma}=km.
+$$
+
+Однако здесь неявно предполагается, что конденсатор способен полностью разрядиться через любое число последовательно соединённых ванн. Именно это предположение неверно.
+
+В процессе электролиза в каждой ванне возникает химическая противо-ЭДС, направленная против тока разряда. Обозначим эффективную противо-ЭДС одной ванны через $\mathcal{E}$.
+
+Для $k$ одинаковых ванн, соединённых последовательно, их противо-ЭДС складываются:
+
+$$
+\mathcal{E}_{\Sigma}=k\mathcal{E}.
+$$
+
+Одновременно с этим при разряде конденсатора его заряд уменьшается. Если через цепь уже прошёл заряд $Q$, то оставшийся заряд конденсатора равен
+
+$$
+q_C=q-Q,
+$$
+
+а напряжение на нём
+
+$$
+U_C=\frac{q-Q}{C}.
+$$
+
+Разряд и электролиз могут продолжаться лишь до тех пор, пока напряжение конденсатора превосходит суммарную химическую противо-ЭДС:
+
+$$
+U_C>k\mathcal{E}.
+$$
+
+По мере разряда $U_C$ уменьшается. В некоторый момент оно становится равным суммарной противо-ЭДС:
+
+$$
+\frac{q-Q}{C}=k\mathcal{E}.
+$$
+
+После этого ток прекращается, и дальнейший электролиз невозможен.
+
+Отсюда заряд, действительно прошедший через систему ванн, равен
+
+$$
+Q=q-Ck\mathcal{E}.
+$$
+
+Следовательно, через каждую ванну проходит не первоначальный заряд $q$, а меньший заряд $Q$.
+
+По закону Фарадея масса газа, выделившегося в одной ванне, равна
+
+$$
+m_1=\beta Q.
+$$
+
+Поэтому суммарная масса газа во всех $k$ ваннах составляет
+
+$$
+m_{\Sigma}=k\beta Q.
+$$
+
+Подставляя найденное выражение для $Q$, получаем
+
+$$
+m_{\Sigma}=k\beta\left(q-Ck\mathcal{E}\right).
+$$
+
+Таким образом,
+
+$$
+\boxed{m_{\Sigma}=\beta\left(kq-C\mathcal{E}k^2\right)}.
+$$
+
+Следовательно, суммарная масса выделившегося газа не растёт линейно с числом ванн $k$. Причина в том, что при увеличении $k$ возрастает не только число электролитических ванн, но и суммарная химическая противо-ЭДС. Поэтому заряд $Q$, успевающий пройти через цепь до прекращения разряда, уменьшается с ростом $k$:
+
+$$
+Q=q-Ck\mathcal{E}.
+$$
+
+Иными словами, увеличение числа ванн одновременно увеличивает число ячеек, в которых выделяется газ, и уменьшает заряд, проходящий через каждую из них.
+
+Более того, если число ванн настолько велико, что
+
+$$
+k\mathcal{E}\geq U_0,
+$$
+
+то начального напряжения конденсатора вообще недостаточно для протекания электролиза.
+
+Так как
+
+$$
+U_0=\frac{q}{C},
+$$
+
+условие отсутствия разряда можно записать в виде
+
+$$
+k\mathcal{E}\geq\frac{q}{C}.
+$$
+
+В этом случае
+
+$$
+Q=0,
+$$
+
+и газ вообще не выделяется.
+
+Следовательно, ошибка исходного рассуждения заключается не в законе Фарадея. Закон Фарадея остаётся справедливым: масса вещества действительно определяется прошедшим зарядом. Ошибочно предположение, что через каждую из $k$ последовательно соединённых ванн при разряде конденсатора пройдёт весь первоначальный заряд $q$.
+
+На самом деле при увеличении $k$ возрастает суммарная химическая противо-ЭДС, и конденсатор перестаёт разряжаться задолго до того, как его заряд станет равным нулю.
+
+#### Ответ
+
+Конденсатор не разряжается полностью, поскольку при электролизе возникает химическая противо-ЭДС. Для $k$ последовательно соединённых ванн эта противо-ЭДС возрастает приблизительно пропорционально $k$, поэтому ток прекращается, когда напряжение конденсатора становится равным суммарной противо-ЭДС.
+
+Следовательно, через ванны проходит заряд меньше первоначального $q$, и утверждение о выделении массы $km$ при произвольно большом $k$ неверно.