Решение

Пусть ёмкость конденсатора равна $C$, а его первоначальный заряд — $q$. Тогда начальное напряжение на конденсаторе равно

$$U_0=\frac{q}{C}.$$

Согласно закону Фарадея, масса вещества, выделяющегося при электролизе, действительно пропорциональна заряду, прошедшему через электролит:

$$m=\beta Q,$$

где $\beta$ — электрохимический эквивалент, а $Q$ — заряд, прошедший через ванну.

Поэтому на первый взгляд может показаться, что если соединить последовательно $k$ одинаковых электролитических ванн, то через каждую из них пройдёт один и тот же заряд $q$, и в каждой выделится масса $m$. Тогда суммарная масса гремучего газа была бы

$$m_{\Sigma}=km.$$

Однако здесь неявно предполагается, что конденсатор способен полностью разрядиться через любое число последовательно соединённых ванн. Именно это предположение неверно.

В процессе электролиза в каждой ванне возникает химическая противо-ЭДС, направленная против тока разряда. Обозначим эффективную противо-ЭДС одной ванны через $\mathcal{E}$.

Для $k$ одинаковых ванн, соединённых последовательно, их противо-ЭДС складываются:

$$\mathcal{E}_{\Sigma}=k\mathcal{E}.$$

Одновременно с этим при разряде конденсатора его заряд уменьшается. Если через цепь уже прошёл заряд $Q$, то оставшийся заряд конденсатора равен

$$q_C=q-Q,$$

а напряжение на нём

$$U_C=\frac{q-Q}{C}.$$

Разряд и электролиз могут продолжаться лишь до тех пор, пока напряжение конденсатора превосходит суммарную химическую противо-ЭДС:

$$U_C>k\mathcal{E}.$$

По мере разряда $U_C$ уменьшается. В некоторый момент оно становится равным суммарной противо-ЭДС:

$$\frac{q-Q}{C}=k\mathcal{E}.$$

После этого ток прекращается, и дальнейший электролиз невозможен.

Отсюда заряд, действительно прошедший через систему ванн, равен

$$Q=q-Ck\mathcal{E}.$$

Следовательно, через каждую ванну проходит не первоначальный заряд $q$, а меньший заряд $Q$.

По закону Фарадея масса газа, выделившегося в одной ванне, равна

$$m_1=\beta Q.$$

Поэтому суммарная масса газа во всех $k$ ваннах составляет

$$m_{\Sigma}=k\beta Q.$$

Подставляя найденное выражение для $Q$, получаем

$$m_{\Sigma}=k\beta\left(q-Ck\mathcal{E}\right).$$

Таким образом,

$$\boxed{m_{\Sigma}=\beta\left(kq-C\mathcal{E}k^2\right)}.$$

Следовательно, суммарная масса выделившегося газа не растёт линейно с числом ванн $k$. Причина в том, что при увеличении $k$ возрастает не только число электролитических ванн, но и суммарная химическая противо-ЭДС. Поэтому заряд $Q$, успевающий пройти через цепь до прекращения разряда, уменьшается с ростом $k$:

$$Q=q-Ck\mathcal{E}.$$

Иными словами, увеличение числа ванн одновременно увеличивает число ячеек, в которых выделяется газ, и уменьшает заряд, проходящий через каждую из них.

Более того, если число ванн настолько велико, что

$$k\mathcal{E}\geq U_0,$$

то начального напряжения конденсатора вообще недостаточно для протекания электролиза.

Так как

$$U_0=\frac{q}{C},$$

условие отсутствия разряда можно записать в виде

$$k\mathcal{E}\geq\frac{q}{C}.$$

В этом случае

$$Q=0,$$

и газ вообще не выделяется.

Следовательно, ошибка исходного рассуждения заключается не в законе Фарадея. Закон Фарадея остаётся справедливым: масса вещества действительно определяется прошедшим зарядом. Ошибочно предположение, что через каждую из $k$ последовательно соединённых ванн при разряде конденсатора пройдёт весь первоначальный заряд $q$.

На самом деле при увеличении $k$ возрастает суммарная химическая противо-ЭДС, и конденсатор перестаёт разряжаться задолго до того, как его заряд станет равным нулю.