Решение

Сначала теория из книги Шмидт В.В. «Введение в физику сверхпроводников» [1].

Согласно теории Лондонов, электроны в сверхпроводнике можно рассматривать как совокупность двух электронных коллективов: сверхпроводящей и нормальной электронных компонент. Плотность сверхпроводящих электронов $n_s$ должна уменьшаться с повышением температуры и обращаться в нуль при $T = T_c$. Наоборот, при $T = 0$ величина $n_s$ должна равняться плотности всех свободных электронов металла. Это — формулировка так называемой двухжидкостной модели сверхпроводника.

Ток сверхпроводящих электронов — это ток без сопротивления. Ясно, что постоянного электрического поля при этом в сверхпроводнике быть не может, так как в противном случае это привело бы к неограниченному ускорению коллектива сверхпроводящих электронов. Поэтому в стационарных условиях, когда электрического поля нет, нормальные электроны покоятся. Наоборот, в переменном электрическом поле есть и ток сверхпроводящих электронов, и ток нормальной компоненты. При этом нормальный ток подчиняется обычному закону Ома.

Реальный сверхпроводник в этой модели можно моделировать эквивалентной схемой, в которой нормальное сопротивление и идеальный проводник соединены параллельно. Идеальный проводник при этом должен иметь некоторую индуктивность, с помощью которой можно моделировать инерциальные свойства сверхпроводящих электронов.

Считаем, что данная индуктивность $L$ составляет индуктивность сверхпроводящей ветви (в ней будет сверхпроводящий ток), сопротивление $R$ составляет сопротивление нормальной ветви (в ней будет нормальный ток). Получился параллельный участок, который подключается на постоянное напряжение $U$ (на идеальное ЭДС $U$).

Сверхпроводящий ток тогда

$$i_s = \frac{U}{L}t$$

(из второго правила Кирхгофа для контура «источник — сверхпроводящая ветвь»; см. задачу $11.4.1$).

Нормальный ток

$$i_n = \frac{U}{R}.$$

Тепло на $R$, конечно,

$$Q = i_n^2Rt.\tag{1}$$

Наложим на $i_n$ особенность следующую. Сравним токи ветвей

$$\frac{i_s}{i_n} = \frac{t}{(L/R)},$$

где $L/R$ есть постоянная времени переходного процесса обычной катушки.

Рассмотрим долгий запуск времени $t$ относительно постоянной времени соленоида $L/R$ [4]:

$$\boxed{t\gg L/R,}$$

и получаем $i_s \gg i_n$.

По сумме токов это дает

$$I \approx i_s$$

практически на всей области процесса и дальнейшие упрощения формулы $(1)$ через формулу первого правила Кирхгофа $I = i_s + i_n$ становятся бессмысленными.

Делаем так тогда. Из формул для $i_s$ и $i_n$ получаем

$$i_n = \frac{i_sL}{Rt}$$

(величина постоянная, как и положено для нормальной ветви).

И для теплоты пишем

$$Q = \left(\frac{i_sL}{Rt}\right)^2Rt.$$

Что дает с учетом $i_s \approx I$

$$\boxed{Q \approx \frac{I^2L^2}{Rt}.}$$

Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой».