| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. | | $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Сначала теория из книги Шмидт В.В. «Введение в физику сверхпроводников» [1]. | | Сначала теория из книги Шмидт В.В. «Введение в физику сверхпроводников» [1]. |
| | | |
| Согласно теории Лондонов, электроны в сверхпроводнике можно рассматривать как совокупность двух электронных коллективов: сверхпроводящей и нормальной электронных компонент. Плотность сверхпроводящих электронов $n_s$ должна уменьшаться с повышением температуры и обращаться в нуль при $T = T_c$. Наоборот, при $T = 0$ величина $n_s$ должна равняться плотности всех свободных электронов металла. Это — формулировка так называемой двухжидкостной модели сверхпроводника. | | Согласно теории Лондонов, электроны в сверхпроводнике можно рассматривать как совокупность двух электронных коллективов: сверхпроводящей и нормальной электронных компонент. Плотность сверхпроводящих электронов $n_s$ должна уменьшаться с повышением температуры и обращаться в нуль при $T = T_c$. Наоборот, при $T = 0$ величина $n_s$ должна равняться плотности всех свободных электронов металла. Это — формулировка так называемой двухжидкостной модели сверхпроводника. |
| | | |
| Ток сверхпроводящих электронов — это ток без сопротивления. Ясно, что постоянного электрического поля при этом в сверхпроводнике быть не может, так как в противном случае это привело бы к неограниченному ускорению коллектива сверхпроводящих электронов. Поэтому в стационарных условиях, когда электрического поля нет, нормальные электроны покоятся. Наоборот, в переменном электрическом поле есть и ток сверхпроводящих электронов, и ток нормальной компоненты. При этом нормальный ток подчиняется обычному закону Ома. | | Ток сверхпроводящих электронов — это ток без сопротивления. Ясно, что постоянного электрического поля при этом в сверхпроводнике быть не может, так как в противном случае это привело бы к неограниченному ускорению коллектива сверхпроводящих электронов. Поэтому в стационарных условиях, когда электрического поля нет, нормальные электроны покоятся. Наоборот, в переменном электрическом поле есть и ток сверхпроводящих электронов, и ток нормальной компоненты. При этом нормальный ток подчиняется обычному закону Ома. |
| | | |
| Реальный сверхпроводник в этой модели можно моделировать эквивалентной схемой, в которой <i>нормальное сопротивление и идеальный проводник соединены параллельно</i>. Идеальный проводник при этом должен иметь некоторую индуктивность, с помощью которой можно моделировать инерциальные свойства сверхпроводящих электронов. | | Реальный сверхпроводник в этой модели можно моделировать эквивалентной схемой, в которой <i>нормальное сопротивление и идеальный проводник соединены параллельно</i>. Идеальный проводник при этом должен иметь некоторую индуктивность, с помощью которой можно моделировать инерциальные свойства сверхпроводящих электронов. |
| | | |
| Считаем, что данная индуктивность $L$ составляет индуктивность сверхпроводящей ветви (в ней будет <i>сверхпроводящий ток</i>), сопротивление $R$ составляет сопротивление нормальной ветви (в ней будет <i>нормальный ток</i>). Получился параллельный участок, который подключается на постоянное напряжение $U$ (на идеальное ЭДС $U$). | | Считаем, что данная индуктивность $L$ составляет индуктивность сверхпроводящей ветви (в ней будет <i>сверхпроводящий ток</i>), сопротивление $R$ составляет сопротивление нормальной ветви (в ней будет <i>нормальный ток</i>). Получился параллельный участок, который подключается на постоянное напряжение $U$ (на идеальное ЭДС $U$). |
| | | |
| Сверхпроводящий ток тогда | | Сверхпроводящий ток тогда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i_s = \frac{U}{L}t | | i_s = \frac{U}{L}t |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (из второго правила Кирхгофа для контура «источник — сверхпроводящая ветвь»; см. задачу $11.4.1$). | | (из второго правила Кирхгофа для контура «источник — сверхпроводящая ветвь»; см. задачу $11.4.1$). |
| | | |
| Нормальный ток | | Нормальный ток |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i_n = \frac{U}{R}. | | i_n = \frac{U}{R}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Тепло на $R$, конечно, | | Тепло на $R$, конечно, |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Q = i_n^2Rt.\tag{1} | | Q = i_n^2Rt.\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Наложим на $i_n$ особенность следующую. Сравним токи ветвей | | Наложим на $i_n$ особенность следующую. Сравним токи ветвей |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{i_s}{i_n} = \frac{t}{(L/R)}, | | \frac{i_s}{i_n} = \frac{t}{(L/R)}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По сумме токов это дает | | По сумме токов это дает |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I \approx i_s | | I \approx i_s |
| $$ | | $$ |
| | | |
| практически на всей области процесса и дальнейшие упрощения формулы $(1)$ через формулу первого правила Кирхгофа $I = i_s + i_n$ становятся бессмысленными. | | практически на всей области процесса и дальнейшие упрощения формулы $(1)$ через формулу первого правила Кирхгофа $I = i_s + i_n$ становятся бессмысленными. |
| | | |
| Делаем так тогда. Из формул для $i_s$ и $i_n$ получаем | | Делаем так тогда. Из формул для $i_s$ и $i_n$ получаем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i_n = \frac{i_sL}{Rt} | | i_n = \frac{i_sL}{Rt} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (величина постоянная, как и положено для нормальной ветви). | | (величина постоянная, как и положено для нормальной ветви). |
| | | |
| И для теплоты пишем | | И для теплоты пишем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Q = \left(\frac{i_sL}{Rt}\right)^2Rt. | | Q = \left(\frac{i_sL}{Rt}\right)^2Rt. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Что дает с учетом $i_s \approx I$ | | Что дает с учетом $i_s \approx I$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{Q \approx \frac{I^2L^2}{Rt}.} | | \boxed{Q \approx \frac{I^2L^2}{Rt}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой». | | Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой». |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. МЦНМО, 2000. (Стр. 24, 25.) | | [1] Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. МЦНМО, 2000. (Стр. 24, 25.) |
| | | |
