$1.1.19.$ На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен $\alpha$? Как полетит шар, если угол $\alpha = \pi/2$? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения.
Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной клина (с углом $\alpha$), двумя точками удара шарика о стенки и точкой пересечения проведенных к ним перпендикуляров (нормалей). Поскольку перпендикуляры образуют со стенками углы 90°, сумма двух оставшихся углов этого четырехугольника равна 180°. Следовательно, угол между нормалями при их пересечении равен $180^\circ - \alpha$.
<b>2. Связь углов падения и угла клина</b><br>
Обратим внимание на треугольник, который образует траектория шарика (красная линия) между двумя соударениями и две нормали.
Внутренние углы этого треугольника, прилегающие к нормалям, — это углы падения $\beta$ и $\gamma$. Третий угол — это найденный угол пересечения нормалей $180^\circ - \alpha$.
Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, запишем уравнение:
Подставляя сюда наше равенство $\beta + \gamma = \alpha$, получаем:
$$\Delta = 360^\circ - 2\alpha$$
Геометрически поворот вектора на угол $360^\circ - 2\alpha$ означает, что итоговый угол между начальным и конечным направлениями равен в точности $2\alpha$ (отмечен на рисунке четверной голубой дугой).
@@ -30,7 +30,23 @@Решение
<i>При $\alpha = \pi/2$:</i><br>
Направление изменится на $2 \cdot (\pi/2) = \pi$, то есть мяч полетит строго в противоположном направлении.
−
#### Ответ
−
На угол $2\alpha$. В направлении, противоположном начальному.
+
### Альтернативное решение
+
<strong>Метод выпрямления.</strong> Рассмотрим случай $\alpha\leqslant\pi/2$. По симметрии отражения при ударе будем продолжать движение в отраженный угол относительно плоскости удара. Получается прямая траектория.
Пусть к верхней грани подлетает с углом $\gamma$ к грани этой. По чертежу выпрямления через два удара тело летит к верхней снова, но под углом
+
+
$$
+
\gamma + 2\alpha.
+
$$
+
+
Если $\alpha = \pi/2$, то получаем аналогично $\gamma + \pi$, то есть тело разворачивается относительно первоначального направления.
+
+
+
#### Ответ
+
На угол $2\alpha$. В направлении, противоположном начальному.
### Условие
### Условие
$1.1.19.$ На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен $\alpha$? Как полетит шар, если угол $\alpha = \pi/2$? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения.
$1.1.19.$ На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен $\alpha$? Как полетит шар, если угол $\alpha = \pi/2$? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения.
Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной клина (с углом $\alpha$), двумя точками удара шарика о стенки и точкой пересечения проведенных к ним перпендикуляров (нормалей). Поскольку перпендикуляры образуют со стенками углы 90°, сумма двух оставшихся углов этого четырехугольника равна 180°. Следовательно, угол между нормалями при их пересечении равен $180^\circ - \alpha$.
Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной клина (с углом $\alpha$), двумя точками удара шарика о стенки и точкой пересечения проведенных к ним перпендикуляров (нормалей). Поскольку перпендикуляры образуют со стенками углы 90°, сумма двух оставшихся углов этого четырехугольника равна 180°. Следовательно, угол между нормалями при их пересечении равен $180^\circ - \alpha$.
<b>2. Связь углов падения и угла клина</b><br>
<b>2. Связь углов падения и угла клина</b><br>
Обратим внимание на треугольник, который образует траектория шарика (красная линия) между двумя соударениями и две нормали.
Обратим внимание на треугольник, который образует траектория шарика (красная линия) между двумя соударениями и две нормали.
Внутренние углы этого треугольника, прилегающие к нормалям, — это углы падения $\beta$ и $\gamma$. Третий угол — это найденный угол пересечения нормалей $180^\circ - \alpha$.
Внутренние углы этого треугольника, прилегающие к нормалям, — это углы падения $\beta$ и $\gamma$. Третий угол — это найденный угол пересечения нормалей $180^\circ - \alpha$.
Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, запишем уравнение:
Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, запишем уравнение:
Подставляя сюда наше равенство $\beta + \gamma = \alpha$, получаем:
Подставляя сюда наше равенство $\beta + \gamma = \alpha$, получаем:
$$\Delta = 360^\circ - 2\alpha$$
$$\Delta = 360^\circ - 2\alpha$$
Геометрически поворот вектора на угол $360^\circ - 2\alpha$ означает, что итоговый угол между начальным и конечным направлениями равен в точности $2\alpha$ (отмечен на рисунке четверной голубой дугой).
Геометрически поворот вектора на угол $360^\circ - 2\alpha$ означает, что итоговый угол между начальным и конечным направлениями равен в точности $2\alpha$ (отмечен на рисунке четверной голубой дугой).
@@ -30,7 +30,23 @@Решение
<i>При $\alpha = \pi/2$:</i><br>
<i>При $\alpha = \pi/2$:</i><br>
Направление изменится на $2 \cdot (\pi/2) = \pi$, то есть мяч полетит строго в противоположном направлении.
Направление изменится на $2 \cdot (\pi/2) = \pi$, то есть мяч полетит строго в противоположном направлении.
#### Ответ
На угол $2\alpha$. В направлении, противоположном начальному.
### Альтернативное решение
<strong>Метод выпрямления.</strong> Рассмотрим случай $\alpha\leqslant\pi/2$. По симметрии отражения при ударе будем продолжать движение в отраженный угол относительно плоскости удара. Получается прямая траектория.
