Решение

Рассмотрим движение одного протона, находящегося на небольшом расстоянии $x$ от оси пучка.

Пусть первая пластина заземлена, а потенциал второй равен $V$. Тогда между пластинами существует электрическое поле порядка

$$E=\frac{V}{d}.$$

Протоны до попадания в конденсатор были ускорены разностью потенциалов $V_0$, поэтому их начальная кинетическая энергия равна

$$K_0=eV_0.$$

Следовательно,

$$\frac{mv_0^2}{2}=eV_0.$$

Будем считать, что $V>0$, поэтому при движении от первой пластины ко второй положительные протоны тормозятся.

По условию фокус находится на расстоянии

$$l\gg d,$$

следовательно, фокусирующее действие системы слабое. В дальнейшем это позволит использовать приближение

$$\frac{V}{V_0}\ll1.$$

Для удобства введём обозначение

$$\varepsilon=\frac{V}{V_0}.$$

1. Отклонение протона в поле первой щели

Вдали от щели электрическое поле направлено перпендикулярно пластинам. Однако вблизи узкой щели силовые линии искривляются, поэтому появляется небольшая поперечная составляющая поля $E_{\perp}$.

Рассмотрим область краевого поля первой щели. Для протона, находящегося на расстоянии $x$ от оси, интеграл поперечной составляющей поля по продольной координате имеет порядок

$$\int E_{\perp}\,dz=\frac{V}{d}x.$$

Изменение поперечного импульса протона равно

$$\Delta p_{\perp}=\int F_{\perp}\,dt.$$

Так как

$$F_{\perp}=eE_{\perp},$$

получаем

$$\Delta p_{\perp}=e\int E_{\perp}\,dt.$$

Область краевого поля узкая, поэтому продольную скорость при прохождении этой области можно считать практически постоянной:

$$dt=\frac{dz}{v}.$$

Следовательно,

$$\Delta p_{\perp}=\frac{e}{v}\int E_{\perp}\,dz.$$

Используя найденный интеграл поля,

$$|\Delta p_{\perp}|=\frac{eVx}{dv}.$$

Пусть исходное расстояние протона от оси равно $x_0$. Перед первой щелью его скорость равна $v_0$, поэтому

$$p_{\perp1}=\frac{eVx_0}{dv_0}.$$

Так как угол отклонения мал,

$$\theta_1\simeq\frac{p_{\perp1}}{mv_0}.$$

Отсюда

$$\theta_1=\frac{eVx_0}{dmv_0^2}.$$

Но

$$mv_0^2=2eV_0.$$

Следовательно,

$$\theta_1=\frac{Vx_0}{2V_0d}.$$

Или через $\varepsilon$,

$$\boxed{\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d}}.$$

Первая щель слегка отклоняет протон от оси.

2. Движение между пластинами

Между пластинами поле практически однородно и направлено вдоль оси движения. Поэтому поперечной силы здесь нет, а поперечный импульс сохраняется:

$$p_{\perp}=\text{const}.$$

Однако продольная скорость протона уменьшается, поскольку положительный протон движется в сторону более высокого потенциала.

На расстоянии $z$ от первой пластины потенциал равен

$$\varphi(z)=\frac{V}{d}z.$$

Из закона сохранения энергии

$$\frac{mv^2(z)}{2}+e\varphi(z)=eV_0.$$

Следовательно,

$$\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0-e\frac{V}{d}z.$$

Вынося $eV_0$, получаем

$$\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0\left(1-\varepsilon\frac{z}{d}\right).$$

Поэтому

$$v(z)=v_0\sqrt{1-\varepsilon\frac{z}{d}}.$$

Поперечный импульс после первой щели сохраняется, поэтому поперечная скорость равна

$$v_{\perp}=\theta_1v_0.$$

Следовательно, наклон траектории внутри конденсатора определяется выражением

$$\frac{dx}{dz}=\frac{v_{\perp}}{v(z)}.$$

Подставляя $v_{\perp}$ и $v(z)$,

$$\frac{dx}{dz}=\frac{\theta_1}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.$$

Теперь найдём координату протона непосредственно перед второй щелью:

$$x_2-x_0=\int_0^d\frac{\theta_1\,dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.$$

Выносим $\theta_1$:

$$x_2-x_0=\theta_1\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}=\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).$$

Следовательно,

$$x_2-x_0=\theta_1\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).$$

Используя

$$\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d},$$

получаем

$$x_2-x_0=x_0\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).$$

Поэтому

$$\boxed{x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right)}.$$

3. Наклон траектории перед второй щелью

Перед второй пластиной кинетическая энергия протона равна

$$K_2=e(V_0-V).$$

Следовательно,

$$\frac{mv_2^2}{2}=e(V_0-V).$$

Используя $\varepsilon=V/V_0$, получаем

$$v_2=v_0\sqrt{1-\varepsilon}.$$

Поперечный импульс между пластинами не меняется, поэтому непосредственно перед второй щелью

$$\theta_{2-}=\frac{p_{\perp1}}{mv_2}.$$

Но

$$\frac{p_{\perp1}}{mv_0}=\theta_1.$$

Следовательно,

$$\theta_{2-}=\theta_1\frac{v_0}{v_2}.$$

Отсюда

$$\boxed{\theta_{2-}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}}.$$

4. Отклонение во второй щели

Вторая щель отклоняет протон в противоположную сторону, то есть к оси.

Используем ту же формулу для изменения поперечного импульса:

$$|\Delta p_{\perp2}|=\frac{eVx_2}{dv_2}.$$

Изменение угла равно

$$|\Delta\theta_2|=\frac{|\Delta p_{\perp2}|}{mv_2}.$$

Следовательно,

$$|\Delta\theta_2|=\frac{eVx_2}{dmv_2^2}.$$

Но

$$mv_2^2=2e(V_0-V).$$

Поэтому

$$|\Delta\theta_2|=\frac{Vx_2}{2d(V_0-V)}.$$

Через $\varepsilon$ это можно записать как

$$\boxed{|\Delta\theta_2|=\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}}.$$

Поскольку отклонение второй щели направлено к оси,

$$\theta_{\text{out}}=\theta_{2-}-|\Delta\theta_2|.$$

Подставляя найденные выражения,

$$\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}.$$

Используем

$$x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right).$$

Тогда

$$\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{2-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}\right].$$

Обозначим

$$s=\sqrt{1-\varepsilon}.$$

Тогда

$$1-\varepsilon=s^2.$$

Выражение в квадратных скобках становится

$$\frac{1}{s}-\frac{2-s}{s^2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{s-(2-s)}{s^2}=\frac{2s-2}{s^2}.$$

Следовательно,

$$\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{s-1}{s^2}.$$

Возвращаясь к $\varepsilon$, получаем

$$\boxed{\theta_{\text{out}}=-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{1-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}}.$$

Знак минус означает, что после второй щели протон движется к оси пучка.

5. Использование условия $l\gg d$

Так как

$$l\gg d,$$

система является слабой электростатической линзой, поэтому

$$\varepsilon=\frac{V}{V_0}\ll1.$$

Разложим корень:

$$\sqrt{1-\varepsilon}=1-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots$$

Следовательно,

$$1-\sqrt{1-\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots$$

В выражении для $\theta_{\text{out}}$ уже имеется один множитель $\varepsilon$, поэтому для главного ненулевого члена достаточно оставить

$$1-\sqrt{1-\varepsilon}\simeq\frac{\varepsilon}{2},$$

а также

$$1-\varepsilon\simeq1.$$

Тогда

$$\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{\varepsilon}{2}.$$

Следовательно,

$$\boxed{\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon^2x_0}{2d}}.$$

Или по модулю

$$\boxed{|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2}.$$

Таким образом, эффекты первого порядка по $V/V_0$ от двух щелей взаимно компенсируются, а результирующее фокусирующее действие имеет второй порядок малости.

6. Условие фокусировки

После второй пластины электрическое поле практически отсутствует, поэтому протон движется прямолинейно.

Если он фокусируется на расстоянии $l$ от второй пластины, то для малого угла

$$|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_2}{l}.$$

Поскольку

$$x_2=x_0\left[1+O(\varepsilon)\right],$$

а сам угол уже имеет порядок $\varepsilon^2$, в требуемом приближении можно положить

$$x_2\simeq x_0.$$

Следовательно,

$$|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_0}{l}.$$

С другой стороны,

$$|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.$$

Приравнивая два выражения,

$$\frac{x_0}{l}=\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.$$

Сокращая $x_0$,

$$\frac{1}{l}=\frac{1}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{V}{V_0}\right)^2=\frac{2d}{l}.$$

Откуда

$$\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}.$$