Поправки

igor правка от 2 окт. 2026 г., 20:14

правка #22204 предыдущая #22200 ← раньше

ru/7.2.13.md +7 −19

			### Условие

			$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.

			### Решение

			Рассмотрим движение одного протона, находящегося на небольшом расстоянии $x$ от оси пучка.

			Пусть первая пластина заземлена, а потенциал второй равен $V$. Тогда между пластинами существует электрическое поле порядка

			$$
			E=\frac{V}{d}.
			$$

			Протоны до попадания в конденсатор были ускорены разностью потенциалов $V_0$, поэтому их начальная кинетическая энергия равна

			$$
			K_0=eV_0.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\frac{mv_0^2}{2}=eV_0.
			$$

			Будем считать, что $V>0$, поэтому при движении от первой пластины ко второй положительные протоны тормозятся.

			По условию фокус находится на расстоянии

			$$
			l\gg d,
			$$

			следовательно, фокусирующее действие системы слабое. В дальнейшем это позволит использовать приближение

			$$
			\frac{V}{V_0}\ll1.
			$$

			Для удобства введём обозначение

			$$
			\varepsilon=\frac{V}{V_0}.
			$$

			---

			#### 1. Отклонение протона в поле первой щели

			Вдали от щели электрическое поле направлено перпендикулярно пластинам. Однако вблизи узкой щели силовые линии искривляются, поэтому появляется небольшая поперечная составляющая поля $E_{\perp}$.

			Рассмотрим область краевого поля первой щели. Для протона, находящегося на расстоянии $x$ от оси, интеграл поперечной составляющей поля по продольной координате имеет порядок

			$$
			\int E_{\perp}\,dz=\frac{V}{d}x.
			$$

			Изменение поперечного импульса протона равно

			$$
			\Delta p_{\perp}=\int F_{\perp}\,dt.
			$$

			Так как

			$$
			F_{\perp}=eE_{\perp},
			$$

			получаем

			$$
			\Delta p_{\perp}=e\int E_{\perp}\,dt.
			$$

			Область краевого поля узкая, поэтому продольную скорость при прохождении этой области можно считать практически постоянной:

			$$
			dt=\frac{dz}{v}.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\Delta p_{\perp}=\frac{e}{v}\int E_{\perp}\,dz.
			$$

			Используя найденный интеграл поля,

			$$
			\|\Delta p_{\perp}\|=\frac{eVx}{dv}.
			$$

			Пусть исходное расстояние протона от оси равно $x_0$. Перед первой щелью его скорость равна $v_0$, поэтому

			$$
			p_{\perp1}=\frac{eVx_0}{dv_0}.
			$$

			Так как угол отклонения мал,

			$$
			\theta_1\simeq\frac{p_{\perp1}}{mv_0}.
			$$

			Отсюда

			$$
			\theta_1=\frac{eVx_0}{dmv_0^2}.
			$$

			Но

			$$
			mv_0^2=2eV_0.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\theta_1=\frac{Vx_0}{2V_0d}.
			$$

			Или через $\varepsilon$,

			$$
			\boxed{\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d}}.
			$$

			Первая щель слегка отклоняет протон от оси.

			---

			#### 2. Движение между пластинами

			Между пластинами поле практически однородно и направлено вдоль оси движения. Поэтому поперечной силы здесь нет, а поперечный импульс сохраняется:

			$$
			p_{\perp}=\text{const}.
			$$

			Однако продольная скорость протона уменьшается, поскольку положительный протон движется в сторону более высокого потенциала.

			На расстоянии $z$ от первой пластины потенциал равен

			$$
			\varphi(z)=\frac{V}{d}z.
			$$

			Из закона сохранения энергии

			$$
			\frac{mv^2(z)}{2}+e\varphi(z)=eV_0.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0-e\frac{V}{d}z.
			$$

			Вынося $eV_0$, получаем

			$$
			\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0\left(1-\varepsilon\frac{z}{d}\right).
			$$

			Поэтому

			$$
			v(z)=v_0\sqrt{1-\varepsilon\frac{z}{d}}.
			$$

			Поперечный импульс после первой щели сохраняется, поэтому поперечная скорость равна

			$$
			v_{\perp}=\theta_1v_0.
			$$

			Следовательно, наклон траектории внутри конденсатора определяется выражением

			$$
			\frac{dx}{dz}=\frac{v_{\perp}}{v(z)}.
			$$

			Подставляя $v_{\perp}$ и $v(z)$,

			$$
			\frac{dx}{dz}=\frac{\theta_1}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
			$$

			Теперь найдём координату протона непосредственно перед второй щелью:

			$$
			x_2-x_0=\int_0^d\frac{\theta_1\,dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
			$$

			Выносим $\theta_1$:

			$$
			x_2-x_0=\theta_1\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
			$$

			Вычислим интеграл:

			$$
			\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}=\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
			$$

			Следовательно,

			$$
			x_2-x_0=\theta_1\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
			$$

			Используя

			$$
			\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d},
			$$

			получаем

			$$
			x_2-x_0=x_0\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
			$$

			Поэтому

			$$
			\boxed{x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right)}.
			$$

			---

			#### 3. Наклон траектории перед второй щелью

			Перед второй пластиной кинетическая энергия протона равна

			$$
			K_2=e(V_0-V).
			$$

			Следовательно,

			$$
			\frac{mv_2^2}{2}=e(V_0-V).
			$$

			Используя $\varepsilon=V/V_0$, получаем

			$$
			v_2=v_0\sqrt{1-\varepsilon}.
			$$

			Поперечный импульс между пластинами не меняется, поэтому непосредственно перед второй щелью

			$$
			\theta_{2-}=\frac{p_{\perp1}}{mv_2}.
			$$

			Но

			$$
			\frac{p_{\perp1}}{mv_0}=\theta_1.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\theta_{2-}=\theta_1\frac{v_0}{v_2}.
			$$

			Отсюда

			$$
			\boxed{\theta_{2-}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}}.
			$$

			---

			#### 4. Отклонение во второй щели

			Вторая щель отклоняет протон в противоположную сторону, то есть к оси.

			Используем ту же формулу для изменения поперечного импульса:

			$$
			\|\Delta p_{\perp2}\|=\frac{eVx_2}{dv_2}.
			$$

			Изменение угла равно

			$$
			\|\Delta\theta_2\|=\frac{\|\Delta p_{\perp2}\|}{mv_2}.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\|\Delta\theta_2\|=\frac{eVx_2}{dmv_2^2}.
			$$

			Но

			$$
			mv_2^2=2e(V_0-V).
			$$

			Поэтому

			$$
			\|\Delta\theta_2\|=\frac{Vx_2}{2d(V_0-V)}.
			$$

			Через $\varepsilon$ это можно записать как

			$$
			\boxed{\|\Delta\theta_2\|=\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}}.
			$$

			Поскольку отклонение второй щели направлено к оси,

			$$
			\theta_{\text{out}}=\theta_{2-}-\|\Delta\theta_2\|.
			$$

			Подставляя найденные выражения,

			$$
			\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}.
			$$

			Используем

			$$
			x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
			$$

			Тогда

			$$
			\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{2-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}\right].
			$$

			Обозначим

			$$
			s=\sqrt{1-\varepsilon}.
			$$

			Тогда

			$$
			1-\varepsilon=s^2.
			$$

			Выражение в квадратных скобках становится

			$$
			\frac{1}{s}-\frac{2-s}{s^2}.
			$$

			Приведём к общему знаменателю:

			$$
			\frac{s-(2-s)}{s^2}=\frac{2s-2}{s^2}.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{s-1}{s^2}.
			$$

			Возвращаясь к $\varepsilon$, получаем

			$$
			\boxed{\theta_{\text{out}}=-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{1-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}}.
			$$

			Знак минус означает, что после второй щели протон движется к оси пучка.

			---

			#### 5. Использование условия $l\gg d$

			Так как

			$$
			l\gg d,
			$$

			система является слабой электростатической линзой, поэтому

			$$
			\varepsilon=\frac{V}{V_0}\ll1.
			$$

			Разложим корень:

			$$
			\sqrt{1-\varepsilon}=1-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots
			$$

			Следовательно,

			$$
			1-\sqrt{1-\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots
			$$

			В выражении для $\theta_{\text{out}}$ уже имеется один множитель $\varepsilon$, поэтому для главного ненулевого члена достаточно оставить

			$$
			1-\sqrt{1-\varepsilon}\simeq\frac{\varepsilon}{2},
			$$

			а также

			$$
			1-\varepsilon\simeq1.
			$$

			Тогда

			$$
			\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{\varepsilon}{2}.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\boxed{\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon^2x_0}{2d}}.
			$$

			Или по модулю

			$$
			\boxed{\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2}.
			$$

			Таким образом, эффекты первого порядка по $V/V_0$ от двух щелей взаимно компенсируются, а результирующее фокусирующее действие имеет второй порядок малости.

			---

			#### 6. Условие фокусировки

			После второй пластины электрическое поле практически отсутствует, поэтому протон движется прямолинейно.

			Если он фокусируется на расстоянии $l$ от второй пластины, то для малого угла

			$$
			\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_2}{l}.
			$$

			Поскольку

			$$
			x_2=x_0\left[1+O(\varepsilon)\right],
			$$

			а сам угол уже имеет порядок $\varepsilon^2$, в требуемом приближении можно положить

			$$
			x_2\simeq x_0.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{l}.
			$$

			С другой стороны,

			$$
			\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
			$$

			Приравнивая два выражения,

			$$
			\frac{x_0}{l}=\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
			$$

			Сокращая $x_0$,

			$$
			\frac{1}{l}=\frac{1}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
			$$

			Следовательно,

			$$
			\left(\frac{V}{V_0}\right)^2=\frac{2d}{l}.
			$$

			Откуда

			$$
			\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}.
			$$

			#### Ответ

			$$
			\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}
			$$

			Первая щель слегка дефокусирует пучок, а вторая фокусирует его немного сильнее. Эффекты первого порядка по $V/V_0$ практически компенсируются, поэтому результирующее фокусирующее действие имеет порядок $(V/V_0)^2$.

			####

			---
		@@ -516,9 +516,11 @@Ответ

			### Альтернативное решение

		−	Метод линз. В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой и будем считать корректным приближение геометрической оптики (см. @emixter's решение $7.2.8$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).
		+	Метод линз. В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой и будем считать корректным приближение геометрической оптики (см. супер @emixter's решение $7.2.8$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).

		+	Из-за длиннофокусности $l \gg d$ результирующей считаем $V \ll V_0$, так что изменением скорости вдоль основного поля конденсатора пренебрегаем.

		+
			#### Фокус щели

			Форма искривления поля вблизи щели аналогична форме искривления поля по задаче $7.2.12$, если для расчета использовать параллелепипед как в той задаче, одна грань которого в плоскости щели, а противовположная грань в месте начала искривления поля. Поэтому используем результат той задачи.

			Пролетая щель протон получает поперечную скорость

			$$
			v_\perp = \frac{e}{mv}\frac{Vy}{2d},
			$$

			где $v$ есть продольная скорость, $V$ есть напряжение конденсатора, $y$ есть размер параллелепипеда для теоремы Гаусса вдоль оси, перпендикулярной щели и основному полю. (Заметим, что параллелепипед взят с $y$, равным двойному расстоянию до плоскости симметрии щели, так что через две грани, идущие параллельно плоскости симметрии, есть два(!) равных потока напряженности по симметрии.)

			Время дохода протона до плоскости симметрии щели

			$$
			\tau = \frac{\frac{y}{2}}{v_\perp},
			$$

			с другой стороны,

			$$
			\tau = \frac{\ell}{v},
			$$

			где $\ell$ есть так называемое фокусное расстояние щели для этого протона (на сколько он удалится от линзы при попадании на плоскость симметрии щели).

			Предыдущие два дают с учетом $K = \dfrac{mv^2}{2}$

			$$
			\boxed{\frac{1}{\ell} = \frac{eV}{2Kd}.}\tag{1}
			$$

			Получена связь фокусного расстояния щели с параметрами системы.


			#### Общее фокусное
		@@ -558,37 +560,23 @@Общее фокусное

			Пусть незаземленная пластина имеет <i>отрицательный</i> потенциал.

		−	Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.10$) с учетом знака линзирования
		+	Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.8$) с учетом знака линзирования

			$$
			\frac{1}{l} = \frac{1}{\ell_1} - \frac{1}{\ell_2} + \frac{d}{\ell_1\ell_2},
			$$

			где $\ell_1,\ell_2$ есть фокусные расстояния щели $1$ и $2$ по порядку пролета (формула из оптики для оптической системы из двух линз, разведенных на расстояние $d$).

		−	Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии ~~$K_1,K_2$~~ для двух щелей ~~разные и $K_2 -~~ K_1 = eV$, получаем после упрощения ~~и связи $K_1 = eV_0$~~
		+	Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии для двух щелей примерно равны $K_1 \approx K_2 = eV_0$, получаем после упрощения ответ

			$$
		−	\boxed{~~\frac{1}{l} = \frac{3V^2}{4V_0\left(V_0 + V\right)d}.}\tag{2~~}
		+	\boxed{V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{l}}.}
			$$

		−	Это приводит к квадратному уравнению с корнем

		−	$$
		−	V = \frac{2V_0d}{3l}\left(1 \pm \sqrt{\frac{3}{ld}}\frac{6l + d}{6}\right).
		−	$$
		−
		−	Рассматривая приближение $V \ll V_0$, видим что $(2)$ требует $l \ggg d$ (много и еще раз много больше; $d$ величина второго(!) порядка малости по сравнению с $l$). Тогда сложное слагаемое в скобках порядка $\sqrt{l/d} \gg 1$, поэтому единицей пренебрегаем и знак оставляем положительный (напряжения считали в модулях).
		−
		−	После этого уже величинами первого порядка малости пренебрегаем и получаем
		−
		−	$$
		−	\boxed{V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.}
		−	$$
		−
		−
			#### Ответ

			$$
		−	V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.
		+	V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{l}}.
			$$

	### Условие		### Условие

	$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.		$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.

	### Решение		### Решение

	Рассмотрим движение одного протона, находящегося на небольшом расстоянии $x$ от оси пучка.		Рассмотрим движение одного протона, находящегося на небольшом расстоянии $x$ от оси пучка.

	Пусть первая пластина заземлена, а потенциал второй равен $V$. Тогда между пластинами существует электрическое поле порядка		Пусть первая пластина заземлена, а потенциал второй равен $V$. Тогда между пластинами существует электрическое поле порядка

	$$		$$
	E=\frac{V}{d}.		E=\frac{V}{d}.
	$$		$$

	Протоны до попадания в конденсатор были ускорены разностью потенциалов $V_0$, поэтому их начальная кинетическая энергия равна		Протоны до попадания в конденсатор были ускорены разностью потенциалов $V_0$, поэтому их начальная кинетическая энергия равна

	$$		$$
	K_0=eV_0.		K_0=eV_0.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\frac{mv_0^2}{2}=eV_0.		\frac{mv_0^2}{2}=eV_0.
	$$		$$

	Будем считать, что $V>0$, поэтому при движении от первой пластины ко второй положительные протоны тормозятся.		Будем считать, что $V>0$, поэтому при движении от первой пластины ко второй положительные протоны тормозятся.

	По условию фокус находится на расстоянии		По условию фокус находится на расстоянии

	$$		$$
	l\gg d,		l\gg d,
	$$		$$

	следовательно, фокусирующее действие системы слабое. В дальнейшем это позволит использовать приближение		следовательно, фокусирующее действие системы слабое. В дальнейшем это позволит использовать приближение

	$$		$$
	\frac{V}{V_0}\ll1.		\frac{V}{V_0}\ll1.
	$$		$$

	Для удобства введём обозначение		Для удобства введём обозначение

	$$		$$
	\varepsilon=\frac{V}{V_0}.		\varepsilon=\frac{V}{V_0}.
	$$		$$

	---		---

	#### 1. Отклонение протона в поле первой щели		#### 1. Отклонение протона в поле первой щели

	Вдали от щели электрическое поле направлено перпендикулярно пластинам. Однако вблизи узкой щели силовые линии искривляются, поэтому появляется небольшая поперечная составляющая поля $E_{\perp}$.		Вдали от щели электрическое поле направлено перпендикулярно пластинам. Однако вблизи узкой щели силовые линии искривляются, поэтому появляется небольшая поперечная составляющая поля $E_{\perp}$.

	Рассмотрим область краевого поля первой щели. Для протона, находящегося на расстоянии $x$ от оси, интеграл поперечной составляющей поля по продольной координате имеет порядок		Рассмотрим область краевого поля первой щели. Для протона, находящегося на расстоянии $x$ от оси, интеграл поперечной составляющей поля по продольной координате имеет порядок

	$$		$$
	\int E_{\perp}\,dz=\frac{V}{d}x.		\int E_{\perp}\,dz=\frac{V}{d}x.
	$$		$$

	Изменение поперечного импульса протона равно		Изменение поперечного импульса протона равно

	$$		$$
	\Delta p_{\perp}=\int F_{\perp}\,dt.		\Delta p_{\perp}=\int F_{\perp}\,dt.
	$$		$$

	Так как		Так как

	$$		$$
	F_{\perp}=eE_{\perp},		F_{\perp}=eE_{\perp},
	$$		$$

	получаем		получаем

	$$		$$
	\Delta p_{\perp}=e\int E_{\perp}\,dt.		\Delta p_{\perp}=e\int E_{\perp}\,dt.
	$$		$$

	Область краевого поля узкая, поэтому продольную скорость при прохождении этой области можно считать практически постоянной:		Область краевого поля узкая, поэтому продольную скорость при прохождении этой области можно считать практически постоянной:

	$$		$$
	dt=\frac{dz}{v}.		dt=\frac{dz}{v}.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\Delta p_{\perp}=\frac{e}{v}\int E_{\perp}\,dz.		\Delta p_{\perp}=\frac{e}{v}\int E_{\perp}\,dz.
	$$		$$

	Используя найденный интеграл поля,		Используя найденный интеграл поля,

	$$		$$
	\|\Delta p_{\perp}\|=\frac{eVx}{dv}.		\|\Delta p_{\perp}\|=\frac{eVx}{dv}.
	$$		$$

	Пусть исходное расстояние протона от оси равно $x_0$. Перед первой щелью его скорость равна $v_0$, поэтому		Пусть исходное расстояние протона от оси равно $x_0$. Перед первой щелью его скорость равна $v_0$, поэтому

	$$		$$
	p_{\perp1}=\frac{eVx_0}{dv_0}.		p_{\perp1}=\frac{eVx_0}{dv_0}.
	$$		$$

	Так как угол отклонения мал,		Так как угол отклонения мал,

	$$		$$
	\theta_1\simeq\frac{p_{\perp1}}{mv_0}.		\theta_1\simeq\frac{p_{\perp1}}{mv_0}.
	$$		$$

	Отсюда		Отсюда

	$$		$$
	\theta_1=\frac{eVx_0}{dmv_0^2}.		\theta_1=\frac{eVx_0}{dmv_0^2}.
	$$		$$

	Но		Но

	$$		$$
	mv_0^2=2eV_0.		mv_0^2=2eV_0.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\theta_1=\frac{Vx_0}{2V_0d}.		\theta_1=\frac{Vx_0}{2V_0d}.
	$$		$$

	Или через $\varepsilon$,		Или через $\varepsilon$,

	$$		$$
	\boxed{\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d}}.		\boxed{\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d}}.
	$$		$$

	Первая щель слегка отклоняет протон от оси.		Первая щель слегка отклоняет протон от оси.

	---		---

	#### 2. Движение между пластинами		#### 2. Движение между пластинами

	Между пластинами поле практически однородно и направлено вдоль оси движения. Поэтому поперечной силы здесь нет, а поперечный импульс сохраняется:		Между пластинами поле практически однородно и направлено вдоль оси движения. Поэтому поперечной силы здесь нет, а поперечный импульс сохраняется:

	$$		$$
	p_{\perp}=\text{const}.		p_{\perp}=\text{const}.
	$$		$$

	Однако продольная скорость протона уменьшается, поскольку положительный протон движется в сторону более высокого потенциала.		Однако продольная скорость протона уменьшается, поскольку положительный протон движется в сторону более высокого потенциала.

	На расстоянии $z$ от первой пластины потенциал равен		На расстоянии $z$ от первой пластины потенциал равен

	$$		$$
	\varphi(z)=\frac{V}{d}z.		\varphi(z)=\frac{V}{d}z.
	$$		$$

	Из закона сохранения энергии		Из закона сохранения энергии

	$$		$$
	\frac{mv^2(z)}{2}+e\varphi(z)=eV_0.		\frac{mv^2(z)}{2}+e\varphi(z)=eV_0.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0-e\frac{V}{d}z.		\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0-e\frac{V}{d}z.
	$$		$$

	Вынося $eV_0$, получаем		Вынося $eV_0$, получаем

	$$		$$
	\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0\left(1-\varepsilon\frac{z}{d}\right).		\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0\left(1-\varepsilon\frac{z}{d}\right).
	$$		$$

	Поэтому		Поэтому

	$$		$$
	v(z)=v_0\sqrt{1-\varepsilon\frac{z}{d}}.		v(z)=v_0\sqrt{1-\varepsilon\frac{z}{d}}.
	$$		$$

	Поперечный импульс после первой щели сохраняется, поэтому поперечная скорость равна		Поперечный импульс после первой щели сохраняется, поэтому поперечная скорость равна

	$$		$$
	v_{\perp}=\theta_1v_0.		v_{\perp}=\theta_1v_0.
	$$		$$

	Следовательно, наклон траектории внутри конденсатора определяется выражением		Следовательно, наклон траектории внутри конденсатора определяется выражением

	$$		$$
	\frac{dx}{dz}=\frac{v_{\perp}}{v(z)}.		\frac{dx}{dz}=\frac{v_{\perp}}{v(z)}.
	$$		$$

	Подставляя $v_{\perp}$ и $v(z)$,		Подставляя $v_{\perp}$ и $v(z)$,

	$$		$$
	\frac{dx}{dz}=\frac{\theta_1}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.		\frac{dx}{dz}=\frac{\theta_1}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
	$$		$$

	Теперь найдём координату протона непосредственно перед второй щелью:		Теперь найдём координату протона непосредственно перед второй щелью:

	$$		$$
	x_2-x_0=\int_0^d\frac{\theta_1\,dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.		x_2-x_0=\int_0^d\frac{\theta_1\,dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
	$$		$$

	Выносим $\theta_1$:		Выносим $\theta_1$:

	$$		$$
	x_2-x_0=\theta_1\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.		x_2-x_0=\theta_1\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
	$$		$$

	Вычислим интеграл:		Вычислим интеграл:

	$$		$$
	\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}=\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).		\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}=\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	x_2-x_0=\theta_1\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).		x_2-x_0=\theta_1\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
	$$		$$

	Используя		Используя

	$$		$$
	\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d},		\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d},
	$$		$$

	получаем		получаем

	$$		$$
	x_2-x_0=x_0\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).		x_2-x_0=x_0\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
	$$		$$

	Поэтому		Поэтому

	$$		$$
	\boxed{x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right)}.		\boxed{x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right)}.
	$$		$$

	---		---

	#### 3. Наклон траектории перед второй щелью		#### 3. Наклон траектории перед второй щелью

	Перед второй пластиной кинетическая энергия протона равна		Перед второй пластиной кинетическая энергия протона равна

	$$		$$
	K_2=e(V_0-V).		K_2=e(V_0-V).
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\frac{mv_2^2}{2}=e(V_0-V).		\frac{mv_2^2}{2}=e(V_0-V).
	$$		$$

	Используя $\varepsilon=V/V_0$, получаем		Используя $\varepsilon=V/V_0$, получаем

	$$		$$
	v_2=v_0\sqrt{1-\varepsilon}.		v_2=v_0\sqrt{1-\varepsilon}.
	$$		$$

	Поперечный импульс между пластинами не меняется, поэтому непосредственно перед второй щелью		Поперечный импульс между пластинами не меняется, поэтому непосредственно перед второй щелью

	$$		$$
	\theta_{2-}=\frac{p_{\perp1}}{mv_2}.		\theta_{2-}=\frac{p_{\perp1}}{mv_2}.
	$$		$$

	Но		Но

	$$		$$
	\frac{p_{\perp1}}{mv_0}=\theta_1.		\frac{p_{\perp1}}{mv_0}=\theta_1.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\theta_{2-}=\theta_1\frac{v_0}{v_2}.		\theta_{2-}=\theta_1\frac{v_0}{v_2}.
	$$		$$

	Отсюда		Отсюда

	$$		$$
	\boxed{\theta_{2-}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}}.		\boxed{\theta_{2-}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}}.
	$$		$$

	---		---

	#### 4. Отклонение во второй щели		#### 4. Отклонение во второй щели

	Вторая щель отклоняет протон в противоположную сторону, то есть к оси.		Вторая щель отклоняет протон в противоположную сторону, то есть к оси.

	Используем ту же формулу для изменения поперечного импульса:		Используем ту же формулу для изменения поперечного импульса:

	$$		$$
	\|\Delta p_{\perp2}\|=\frac{eVx_2}{dv_2}.		\|\Delta p_{\perp2}\|=\frac{eVx_2}{dv_2}.
	$$		$$

	Изменение угла равно		Изменение угла равно

	$$		$$
	\|\Delta\theta_2\|=\frac{\|\Delta p_{\perp2}\|}{mv_2}.		\|\Delta\theta_2\|=\frac{\|\Delta p_{\perp2}\|}{mv_2}.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\|\Delta\theta_2\|=\frac{eVx_2}{dmv_2^2}.		\|\Delta\theta_2\|=\frac{eVx_2}{dmv_2^2}.
	$$		$$

	Но		Но

	$$		$$
	mv_2^2=2e(V_0-V).		mv_2^2=2e(V_0-V).
	$$		$$

	Поэтому		Поэтому

	$$		$$
	\|\Delta\theta_2\|=\frac{Vx_2}{2d(V_0-V)}.		\|\Delta\theta_2\|=\frac{Vx_2}{2d(V_0-V)}.
	$$		$$

	Через $\varepsilon$ это можно записать как		Через $\varepsilon$ это можно записать как

	$$		$$
	\boxed{\|\Delta\theta_2\|=\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}}.		\boxed{\|\Delta\theta_2\|=\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}}.
	$$		$$

	Поскольку отклонение второй щели направлено к оси,		Поскольку отклонение второй щели направлено к оси,

	$$		$$
	\theta_{\text{out}}=\theta_{2-}-\|\Delta\theta_2\|.		\theta_{\text{out}}=\theta_{2-}-\|\Delta\theta_2\|.
	$$		$$

	Подставляя найденные выражения,		Подставляя найденные выражения,

	$$		$$
	\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}.		\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}.
	$$		$$

	Используем		Используем

	$$		$$
	x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right).		x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
	$$		$$

	Тогда		Тогда

	$$		$$
	\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{2-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}\right].		\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{2-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}\right].
	$$		$$

	Обозначим		Обозначим

	$$		$$
	s=\sqrt{1-\varepsilon}.		s=\sqrt{1-\varepsilon}.
	$$		$$

	Тогда		Тогда

	$$		$$
	1-\varepsilon=s^2.		1-\varepsilon=s^2.
	$$		$$

	Выражение в квадратных скобках становится		Выражение в квадратных скобках становится

	$$		$$
	\frac{1}{s}-\frac{2-s}{s^2}.		\frac{1}{s}-\frac{2-s}{s^2}.
	$$		$$

	Приведём к общему знаменателю:		Приведём к общему знаменателю:

	$$		$$
	\frac{s-(2-s)}{s^2}=\frac{2s-2}{s^2}.		\frac{s-(2-s)}{s^2}=\frac{2s-2}{s^2}.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{s-1}{s^2}.		\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{s-1}{s^2}.
	$$		$$

	Возвращаясь к $\varepsilon$, получаем		Возвращаясь к $\varepsilon$, получаем

	$$		$$
	\boxed{\theta_{\text{out}}=-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{1-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}}.		\boxed{\theta_{\text{out}}=-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{1-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}}.
	$$		$$

	Знак минус означает, что после второй щели протон движется к оси пучка.		Знак минус означает, что после второй щели протон движется к оси пучка.

	---		---

	#### 5. Использование условия $l\gg d$		#### 5. Использование условия $l\gg d$

	Так как		Так как

	$$		$$
	l\gg d,		l\gg d,
	$$		$$

	система является слабой электростатической линзой, поэтому		система является слабой электростатической линзой, поэтому

	$$		$$
	\varepsilon=\frac{V}{V_0}\ll1.		\varepsilon=\frac{V}{V_0}\ll1.
	$$		$$

	Разложим корень:		Разложим корень:

	$$		$$
	\sqrt{1-\varepsilon}=1-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots		\sqrt{1-\varepsilon}=1-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	1-\sqrt{1-\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots		1-\sqrt{1-\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots
	$$		$$

	В выражении для $\theta_{\text{out}}$ уже имеется один множитель $\varepsilon$, поэтому для главного ненулевого члена достаточно оставить		В выражении для $\theta_{\text{out}}$ уже имеется один множитель $\varepsilon$, поэтому для главного ненулевого члена достаточно оставить

	$$		$$
	1-\sqrt{1-\varepsilon}\simeq\frac{\varepsilon}{2},		1-\sqrt{1-\varepsilon}\simeq\frac{\varepsilon}{2},
	$$		$$

	а также		а также

	$$		$$
	1-\varepsilon\simeq1.		1-\varepsilon\simeq1.
	$$		$$

	Тогда		Тогда

	$$		$$
	\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{\varepsilon}{2}.		\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{\varepsilon}{2}.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\boxed{\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon^2x_0}{2d}}.		\boxed{\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon^2x_0}{2d}}.
	$$		$$

	Или по модулю		Или по модулю

	$$		$$
	\boxed{\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2}.		\boxed{\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2}.
	$$		$$

	Таким образом, эффекты первого порядка по $V/V_0$ от двух щелей взаимно компенсируются, а результирующее фокусирующее действие имеет второй порядок малости.		Таким образом, эффекты первого порядка по $V/V_0$ от двух щелей взаимно компенсируются, а результирующее фокусирующее действие имеет второй порядок малости.

	---		---

	#### 6. Условие фокусировки		#### 6. Условие фокусировки

	После второй пластины электрическое поле практически отсутствует, поэтому протон движется прямолинейно.		После второй пластины электрическое поле практически отсутствует, поэтому протон движется прямолинейно.

	Если он фокусируется на расстоянии $l$ от второй пластины, то для малого угла		Если он фокусируется на расстоянии $l$ от второй пластины, то для малого угла

	$$		$$
	\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_2}{l}.		\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_2}{l}.
	$$		$$

	Поскольку		Поскольку

	$$		$$
	x_2=x_0\left[1+O(\varepsilon)\right],		x_2=x_0\left[1+O(\varepsilon)\right],
	$$		$$

	а сам угол уже имеет порядок $\varepsilon^2$, в требуемом приближении можно положить		а сам угол уже имеет порядок $\varepsilon^2$, в требуемом приближении можно положить

	$$		$$
	x_2\simeq x_0.		x_2\simeq x_0.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{l}.		\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{l}.
	$$		$$

	С другой стороны,		С другой стороны,

	$$		$$
	\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.		\|\theta_{\text{out}}\|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
	$$		$$

	Приравнивая два выражения,		Приравнивая два выражения,

	$$		$$
	\frac{x_0}{l}=\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.		\frac{x_0}{l}=\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
	$$		$$

	Сокращая $x_0$,		Сокращая $x_0$,

	$$		$$
	\frac{1}{l}=\frac{1}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.		\frac{1}{l}=\frac{1}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
	$$		$$

	Следовательно,		Следовательно,

	$$		$$
	\left(\frac{V}{V_0}\right)^2=\frac{2d}{l}.		\left(\frac{V}{V_0}\right)^2=\frac{2d}{l}.
	$$		$$

	Откуда		Откуда

	$$		$$
	\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}.		\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}.
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}		\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}
	$$		$$

	Первая щель слегка дефокусирует пучок, а вторая фокусирует его немного сильнее. Эффекты первого порядка по $V/V_0$ практически компенсируются, поэтому результирующее фокусирующее действие имеет порядок $(V/V_0)^2$.		Первая щель слегка дефокусирует пучок, а вторая фокусирует его немного сильнее. Эффекты первого порядка по $V/V_0$ практически компенсируются, поэтому результирующее фокусирующее действие имеет порядок $(V/V_0)^2$.

	####		####

	---		---
	@@ -516,9 +516,11 @@Ответ

	### Альтернативное решение		### Альтернативное решение

	Метод линз. В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой и будем считать корректным приближение геометрической оптики (см. @emixter's решение $7.2.8$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).		Метод линз. В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой и будем считать корректным приближение геометрической оптики (см. супер @emixter's решение $7.2.8$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).

			Из-за длиннофокусности $l \gg d$ результирующей считаем $V \ll V_0$, так что изменением скорости вдоль основного поля конденсатора пренебрегаем.


	#### Фокус щели		#### Фокус щели

	Форма искривления поля вблизи щели аналогична форме искривления поля по задаче $7.2.12$, если для расчета использовать параллелепипед как в той задаче, одна грань которого в плоскости щели, а противовположная грань в месте начала искривления поля. Поэтому используем результат той задачи.		Форма искривления поля вблизи щели аналогична форме искривления поля по задаче $7.2.12$, если для расчета использовать параллелепипед как в той задаче, одна грань которого в плоскости щели, а противовположная грань в месте начала искривления поля. Поэтому используем результат той задачи.

	Пролетая щель протон получает поперечную скорость		Пролетая щель протон получает поперечную скорость

	$$		$$
	v_\perp = \frac{e}{mv}\frac{Vy}{2d},		v_\perp = \frac{e}{mv}\frac{Vy}{2d},
	$$		$$

	где $v$ есть продольная скорость, $V$ есть напряжение конденсатора, $y$ есть размер параллелепипеда для теоремы Гаусса вдоль оси, перпендикулярной щели и основному полю. (Заметим, что параллелепипед взят с $y$, равным двойному расстоянию до плоскости симметрии щели, так что через две грани, идущие параллельно плоскости симметрии, есть два(!) равных потока напряженности по симметрии.)		где $v$ есть продольная скорость, $V$ есть напряжение конденсатора, $y$ есть размер параллелепипеда для теоремы Гаусса вдоль оси, перпендикулярной щели и основному полю. (Заметим, что параллелепипед взят с $y$, равным двойному расстоянию до плоскости симметрии щели, так что через две грани, идущие параллельно плоскости симметрии, есть два(!) равных потока напряженности по симметрии.)

	Время дохода протона до плоскости симметрии щели		Время дохода протона до плоскости симметрии щели

	$$		$$
	\tau = \frac{\frac{y}{2}}{v_\perp},		\tau = \frac{\frac{y}{2}}{v_\perp},
	$$		$$

	с другой стороны,		с другой стороны,

	$$		$$
	\tau = \frac{\ell}{v},		\tau = \frac{\ell}{v},
	$$		$$

	где $\ell$ есть так называемое фокусное расстояние щели для этого протона (на сколько он удалится от линзы при попадании на плоскость симметрии щели).		где $\ell$ есть так называемое фокусное расстояние щели для этого протона (на сколько он удалится от линзы при попадании на плоскость симметрии щели).

	Предыдущие два дают с учетом $K = \dfrac{mv^2}{2}$		Предыдущие два дают с учетом $K = \dfrac{mv^2}{2}$

	$$		$$
	\boxed{\frac{1}{\ell} = \frac{eV}{2Kd}.}\tag{1}		\boxed{\frac{1}{\ell} = \frac{eV}{2Kd}.}\tag{1}
	$$		$$

	Получена связь фокусного расстояния щели с параметрами системы.		Получена связь фокусного расстояния щели с параметрами системы.


	#### Общее фокусное		#### Общее фокусное
	@@ -558,37 +560,23 @@Общее фокусное

	Пусть незаземленная пластина имеет <i>отрицательный</i> потенциал.		Пусть незаземленная пластина имеет <i>отрицательный</i> потенциал.

	Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.10$) с учетом знака линзирования		Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.8$) с учетом знака линзирования

	$$		$$
	\frac{1}{l} = \frac{1}{\ell_1} - \frac{1}{\ell_2} + \frac{d}{\ell_1\ell_2},		\frac{1}{l} = \frac{1}{\ell_1} - \frac{1}{\ell_2} + \frac{d}{\ell_1\ell_2},
	$$		$$

	где $\ell_1,\ell_2$ есть фокусные расстояния щели $1$ и $2$ по порядку пролета (формула из оптики для оптической системы из двух линз, разведенных на расстояние $d$).		где $\ell_1,\ell_2$ есть фокусные расстояния щели $1$ и $2$ по порядку пролета (формула из оптики для оптической системы из двух линз, разведенных на расстояние $d$).

	Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии ~~$K_1,K_2$~~ для двух щелей ~~разные и $K_2 -~~ K_1 = eV$, получаем после упрощения ~~и связи $K_1 = eV_0$~~		Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии для двух щелей примерно равны $K_1 \approx K_2 = eV_0$, получаем после упрощения ответ

	$$		$$
	\boxed{~~\frac{1}{l} = \frac{3V^2}{4V_0\left(V_0 + V\right)d}.}\tag{2~~}		\boxed{V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{l}}.}
	$$		$$

	Это приводит к квадратному уравнению с корнем

	$$
	V = \frac{2V_0d}{3l}\left(1 \pm \sqrt{\frac{3}{ld}}\frac{6l + d}{6}\right).
	$$

	Рассматривая приближение $V \ll V_0$, видим что $(2)$ требует $l \ggg d$ (много и еще раз много больше; $d$ величина второго(!) порядка малости по сравнению с $l$). Тогда сложное слагаемое в скобках порядка $\sqrt{l/d} \gg 1$, поэтому единицей пренебрегаем и знак оставляем положительный (напряжения считали в модулях).

	После этого уже величинами первого порядка малости пренебрегаем и получаем

	$$
	\boxed{V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.}
	$$


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.		V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{l}}.
	$$		$$