Решение

После раскручивания жгут остаётся окружностью. Пусть его новый радиус равен $R$.

Первоначальная длина жгута была

$$L_0=2\pi R_0,$$

а после растяжения стала

$$L=2\pi R.$$

Следовательно, полное удлинение жгута равно

$$\Delta L=2\pi(R-R_0).$$

Так как $k$ — жёсткость всего жгута, по закону Гука сила натяжения в кольце равна

$$T=k\Delta L.$$

Поэтому

$$\boxed{T=2\pi k(R-R_0)}.$$

Теперь рассмотрим малый участок кольца, изображённый на рисунке.

Пусть радиусы, проведённые к концам этого участка, образуют с радиусом, проходящим через его середину, углы $\alpha$. Тогда центральный угол, соответствующий участку, равен $2\alpha$.

При малом $\alpha$ длина участка равна

$$dl=2\alpha R.$$

Так как масса $m$ равномерно распределена по всей окружности длины $2\pi R$, масса выбранного участка составляет

$$dm=m\frac{dl}{2\pi R}.$$

Подставляя $dl=2\alpha R$, получаем

$$dm=m\frac{2\alpha R}{2\pi R}.$$

Следовательно,

$$\boxed{dm=\frac{m\alpha}{\pi}}.$$

На концы участка действуют две одинаковые силы натяжения

$$T_1=T_2=T.$$

Как видно из рисунка, их составляющие, направленные вдоль горизонтального направления, взаимно компенсируются, а радиальные составляющие складываются.

Результирующая сила направлена к центру кольца и равна

$$T_{\text{н}}=2T\sin\alpha.$$

Поскольку рассматриваемый участок очень мал,

$$\alpha\ll1,$$

поэтому

$$\sin\alpha\simeq\alpha.$$

Следовательно,

$$\boxed{T_{\text{н}}\simeq2T\alpha}.$$

При вращении с угловой скоростью $\omega$ каждый элемент кольца движется по окружности радиуса $R$ и имеет центростремительное ускорение

$$a=\omega^2R.$$

По второму закону Ньютона для выбранного участка

$$dm\,\omega^2R=T_{\text{н}}.$$

Подставляем найденные выражения:

$$\frac{m\alpha}{\pi}\omega^2R=2T\alpha.$$

Сокращая $\alpha$, получаем

$$\frac{m\omega^2R}{\pi}=2T.$$

Отсюда сила натяжения, необходимая для вращения кольца, равна

$$\boxed{T=\frac{m\omega^2R}{2\pi}}.$$

С другой стороны, из закона Гука уже было получено

$$T=2\pi k(R-R_0).$$

Приравниваем два выражения для одной и той же силы натяжения:

$$2\pi k(R-R_0)=\frac{m\omega^2R}{2\pi}.$$

Умножим обе части на $2\pi$:

$$4\pi^2k(R-R_0)=m\omega^2R.$$

Раскрываем скобки:

$$4\pi^2kR-4\pi^2kR_0=m\omega^2R.$$

Переносим члены, содержащие $R$, в левую часть:

$$R(4\pi^2k-m\omega^2)=4\pi^2kR_0.$$

Следовательно,

$$R=\frac{4\pi^2kR_0}{4\pi^2k-m\omega^2}.$$

И окончательно

$$\boxed{R=\frac{R_0}{1-\dfrac{m\omega^2}{4\pi^2k}}}.$$

Конечное положительное значение радиуса существует только тогда, когда знаменатель положителен:

$$1-\frac{m\omega^2}{4\pi^2k}>0.$$

Отсюда

$$\boxed{\omega<2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}}.$$

При

$$\omega\to2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}$$

в рамках линейного закона Гука получаем

$$R\to\infty.$$

Это означает не физическое бесконечное растяжение реального резинового жгута, а исчезновение конечного равновесного решения в данной модели. В реальности при больших деформациях закон Гука перестаёт выполняться, и жгут может разорваться.