2.1.60∗. Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радиус равен$R$
Решение
Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$
Силы, действующие на меленький кусочек жгута
На кусочек жгута действуют силы натяжения
$$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$
При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах
$$T_{н} = 2T\alpha$$
В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу
$$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$
При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение
$$a = \omega^2 R$$
Второй закон Ньютона запишем как
$$dma = T_{н}$$
$$m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$
Откуда находим $R$
$$\boxed{R = \frac{R_0}{1 - m \omega^2 /4 \pi^2 k}}$$
Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся.
Ответ
$R = R_0/(1 - m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$
при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается
