Решение

Рассмотрим, с чем связано изменение длительности сигнала. Для этого удобно перейти от длительности сигнала к его протяженности.

Пусть сигнал, излучаемый гидролокатором на лодке, имеет форму, показанную на рисунке, то есть ею интенсивность скачком меняется от нуля до некоторой величины в момент времени $t$, остается постоянной в течение времени $\tau_{0}$ и опять скачком падает до нуля в момент времени $t + \tau_{0}$.

Если лодка неподвижна, то протяженность излучаемого сигнала (расстояние между передним и задним фронтами) равна $l_{0} = V \tau_{0}$. Если лодка опускается, протяженность сигнала становится меньше.

Действительно, пусть в момент начала сигнала лодка находится в некоторой точке $А$, а к тому времени, когда сигнал прекращается, - в точке $С$, причем $AC = u \tau_{0}$, где $u$ - скорость погружения лодки.

Передний фронт сигнала за время $\tau_{0}$ переместится в точку $В$, пройдя расстояние $l_{0}$.

Следовательно, протяженность сигнала равна

$$l_{1} = BC = ( V - u ) \tau_{0}$$

Этот сигнал доходит до дна, отряжается от него без изменения протяженности и движется навстречу лодке.

В некоторый момент времени передний фронт сигнала поравняется с лодкой.

Задний же фронт сигнала продолжает двигаться со скоростью $V + u$ относительно лодки, следовательно, длительность сигнала, принимаемого на лодке, равна

$$\tau = \frac{l_{1} }{V + u} = \frac{(V - u) \tau_{0} }{V + u}$$

Отсюда

$$u = V \frac{ \tau_{0} - \tau}{ \tau_{0} + \tau}$$