Решебник Савченко

<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({
  extensions: ['tex2jax.js'],
  jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
  tex2jax: {
    inlineMath: [ ['$','$'], ['\\\(','\\\)'] ],
    processEscapes: true,
    processClass: 'tex2jax',
    ignoreClass: 'html'
  },
  showProcessingMessages: false,
  messageStyle: 'none'
});
</script>

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

<div class="container row">
  <div id="main" class="col col-lg-9">
    <div class="row">
      <div class="col caption">
        <h3 id="back-link"><a href="/ru#1.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
      </div>
    </div>

    <div id="1" class="row odd">
      <div class="col col-lg-12">
        <h3> Условие: </h3>
        <div class="task">
          <p> 
          	$1.1.7.$ С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые импульсы длительности \\(\tau _{0}\\). Длительность приема отраженного
      от дна импульса \\(τ\\). Скорость звука в воде \\(c\\). С какой скоростью погружается
      подводная лодка?
			</p>
        </div>
        <h3> Решение: </h3>
          <p>
          Рассмотрим, с чем связано изменение длительности сигнала. Для этого удобно перейти от длительности сигнала к его протяженности. 
        </p>
          <p>
          Пусть сигнал, излучаемый гидролокатором на лодке, имеет форму, показанную на рисунке, то есть ею интенсивность скачком меняется от нуля до некоторой величины в момент времени $t$, остается постоянной в течение времени $\tau_{0}$ и опять скачком падает до нуля в момент времени $t + \tau_{0}$. 
        </p>
          <p>
          Если лодка неподвижна, то протяженность излучаемого сигнала (расстояние между передним и задним фронтами) равна $l_{0} = V \tau_{0}$. Если лодка опускается, протяженность сигнала становится меньше. 
        </p>
          <p>
          Действительно, пусть в момент начала сигнала лодка находится в некоторой точке $А$, а к тому времени, когда сигнал прекращается, - в точке $С$, причем $AC = u \tau_{0}$, где $u$ - скорость погружения лодки. 
        </p>
          <p>
          Передний фронт сигнала за время $\tau_{0}$ переместится в точку $В$, пройдя расстояние $l_{0}$. 
        </p>
          <p>
          Следовательно, протяженность сигнала равна 
        </p>
        <p style="text-align: center;">
          $$l_{1} = BC = ( V - u ) \tau_{0}$$
        </p>
          <p>
          Этот сигнал доходит до дна, отряжается от него без изменения протяженности и движется навстречу лодке.
        </p>
          <p>
          В некоторый момент времени передний фронт сигнала поравняется с лодкой.  
        </p>
          <p>
          Задний же фронт сигнала продолжает двигаться со скоростью $V + u$ относительно лодки, следовательно, длительность сигнала, принимаемого на лодке, равна
        </p>
        <p style="text-align: center;">

$$\tau = \frac{l_{1} }{V + u} = \frac{(V - u) \tau_{0} }{V + u}$$

Отсюда

$$u = V \frac{ \tau_{0} - \tau }{ \tau_{0} + \tau }$$

	    <h3>
	    	Альтернативное решение:
	    </h3>

        </h3>
          <div class="video-container">
            <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/IYqfho5MFLw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
        </div>  

        </div>   

        <h4> 
	    	Ответ: \\(v = c(\tau _{0} − τ)/(\tau _{0} + τ)\\)
        </h4>
        <br>

	  </div>

	</div>

      </div>
    </div>
  </div>
</div>
</div>
<footer class="row container">
  <div class="col col-lg-3">
    <div class="footer-left">
      <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
        </small>
      </p>
    </div>
  </div>
  <div class="col col-lg-6">
    <div class="footer-middle">
      <p>
        <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> aliaksandr@savchenkosolutions.com <br>   
      </p>
    </div>
  </div>
</footer>