6.1.18∗. Чему равна напряженность электрического поля равномерно заряженной нити длины $l$ на прямой, которая является продолжением нити, на расстоянии $x$ от ближайшего ее конца? Заряд единицы длины нити $\rho$.
Решение
Для решения данной задачи необходимо знать основы дифференциально-интегрального исчисления (или формулу площади под графиком квадратичной гиперболы). Малый участок нити, находящийся на расстоянии a от исследуемой точки и имеющий длину $da$, имеет заряд $\rho\cdot da$ и создаёт в точке напряжённость
Элемент нити длиной $da$ и зарядом $\rho\,da$ на расстоянии от заданной точки $x + a$ создает в заданной точке напряженность
$$dE = k\rho\frac{da}{\left(x + a\right)^2}.$$
Метод аналогии. Суммирование элементарных напряженностей по написанной формуле (см. и графики) идентично суммированию элементов путей $ds$ на соответствующих элементах времени $dt$, если делаем переобозначение $E\to s$ и $a\to t$:
$$ds = k\rho\frac{1}{\left(x + t\right)^2}\,dt$$
и у нас как бы зависимость скорости от времени $v(t) = k\rho\dfrac{1}{\left(x + t\right)^2}$.
находим сам путь, подобрав функцию, дающую такую же производную. Получаем
$$s = -k\rho\dfrac{1}{\left(x + t\right)} + C,$$
где $C$ есть константа, на которую отличается любая подходящая функция (говорят, константа интегрирования). Такой переход от производной функции к самой функции фактически называюется интегрированием.
Константу $C$ находим, считая, что при $t = 0$ имеем $s = 0$. То есть $C = k\rho\dfrac{1}{x}$.