Решение

Обозначим радиус каждого металлического шара через $a$:

$$a=\frac{30\,\text{см}}{2}=0.15\,\text{м}.$$

Глубина расположения электродов равна

$$h=60\,\text{м},$$

расстояние между их центрами

$$L=300\,\text{м},$$

а удельная проводимость морской воды

$$\sigma=4\,\text{См/м}.$$

Необходимо найти электрическое сопротивление воды между двумя сферическими электродами.

Поскольку размеры электродов малы по сравнению как с глубиной их расположения, так и с расстоянием между ними,

$$a\ll h,\qquad a\ll L,$$

каждый электрод можно в первом приближении рассматривать как точечный источник или сток электрического тока, сохраняя конечный радиус $a$ только при вычислении собственного потенциала электрода.

1. Потенциал точечного источника тока в проводящей среде

Пусть из небольшого сферического электрода в однородную проводящую среду выходит ток $I$.

На расстоянии $r$ от центра электрода ток распределяется практически сферически. Поэтому плотность тока равна

$$j(r)=\frac{I}{4\pi r^2}.$$

Дифференциальный закон Ома имеет вид

$$\mathbf j=\sigma\mathbf E.$$

Следовательно,

$$E(r)=\frac{j(r)}{\sigma}.$$

Подставляя выражение для плотности тока, получаем

$$E(r)=\frac{I}{4\pi\sigma r^2}.$$

Потенциал относительно бесконечно удалённой точки равен

$$\varphi(r)=\int_r^\infty E(r')\,dr'.$$

Следовательно,

$$\varphi(r)=\frac{I}{4\pi\sigma}\int_r^\infty\frac{dr'}{r'^2}.$$

Отсюда

$$\boxed{\varphi(r)=\frac{I}{4\pi\sigma r}}.$$

Для сферического электрода радиуса $a$ собственный вклад в его потенциал равен

$$\boxed{\varphi_{\text{self}}=\frac{I}{4\pi\sigma a}}.$$

2. Учёт поверхности моря

Морская вода занимает только нижнее полупространство, а над ней находится воздух, проводимость которого по сравнению с проводимостью воды пренебрежимо мала.

Поэтому электрический ток не может выходить из воды через её поверхность. На границе вода–воздух нормальная составляющая плотности тока должна быть равна нулю:

$$j_n=0.$$

Так как

$$\mathbf j=\sigma\mathbf E=-\sigma\nabla\varphi,$$

это условие эквивалентно

$$\frac{\partial\varphi}{\partial n}=0.$$

Такое граничное условие можно удовлетворить методом зеркальных изображений.

Для точечного источника тока, находящегося на глубине $h$, необходимо поместить относительно поверхности воды зеркальный источник **того же знака** на расстоянии $h$ над поверхностью.

Следовательно, каждый реальный электрод имеет зеркальное изображение того же знака.

3. Потенциал первого электрода

Пусть первый электрод является источником тока $+I$, а второй — стоком тока $-I$.

Рассмотрим потенциал первого электрода.

Он складывается из четырёх вкладов:

1. собственного поля первого электрода;
2. поля его зеркального изображения;
3. поля второго электрода;
4. поля зеркального изображения второго электрода.

Собственный вклад равен

$$\varphi_{11}=\frac{I}{4\pi\sigma a}.$$

Расстояние от первого электрода до его собственного зеркального изображения равно

$$2h,$$

поэтому вклад изображения равен

$$\varphi_{1\,\text{im1}}=\frac{I}{4\pi\sigma\,2h}.$$

Второй электрод находится на расстоянии $L$ и имеет противоположный знак тока, поэтому его вклад равен

$$\varphi_{12}=-\frac{I}{4\pi\sigma L}.$$

Расстояние от первого электрода до зеркального изображения второго равно

$$\sqrt{L^2+(2h)^2}.$$

Поэтому

$$\varphi_{1\,\text{im2}}=-\frac{I}{4\pi\sigma\sqrt{L^2+4h^2}}.$$

Суммарный потенциал первого электрода равен

$$\varphi_1=\frac{I}{4\pi\sigma}\left(\frac1a+\frac1{2h}-\frac1L-\frac1{\sqrt{L^2+4h^2}}\right).$$

4. Потенциал второго электрода

Система симметрична: второй электрод имеет такой же модуль потенциала, но противоположный знак.

Следовательно,

$$\varphi_2=-\varphi_1.$$

Поэтому разность потенциалов между электродами равна

$$U=\varphi_1-\varphi_2=2\varphi_1.$$

Получаем

$$U=\frac{I}{2\pi\sigma}\left(\frac1a+\frac1{2h}-\frac1L-\frac1{\sqrt{L^2+4h^2}}\right).$$

По определению сопротивления,

$$R=\frac{U}{I}.$$

Следовательно,

$$\boxed{R=\frac{1}{2\pi\sigma}\left(\frac1a+\frac1{2h}-\frac1L-\frac1{\sqrt{L^2+4h^2}}\right)}.$$

Это выражение учитывает как конечное расстояние между электродами, так и наличие поверхности моря.

5. Численный расчёт

Подставим

$$a=0.15\,\text{м},$$

$$h=60\,\text{м},$$

$$L=300\,\text{м},$$

$$\sigma=4\,\text{См/м}.$$

Получаем

$$R=\frac{1}{2\pi\cdot4}\left(\frac1{0.15}+\frac1{120}-\frac1{300}-\frac1{\sqrt{300^2+120^2}}\right).$$

Вычислим отдельные слагаемые:

$$\frac1{0.15}\approx6.6667\,\text{м}^{-1},$$

$$\frac1{120}\approx0.00833\,\text{м}^{-1},$$

$$\frac1{300}\approx0.00333\,\text{м}^{-1},$$

$$\frac1{\sqrt{300^2+120^2}}\approx0.00309\,\text{м}^{-1}.$$

Следовательно,

$$R\approx\frac{6.6667+0.00833-0.00333-0.00309}{8\pi}.$$

Отсюда

$$\boxed{R\approx0.265\,\Omega}.$$

То есть с требуемой точностью

$$\boxed{R\approx0.27\,\Omega}.$$

6. Почему глубина почти не влияет на ответ

Главный вклад в сопротивление определяется областью непосредственно около поверхности каждого электрода.

Действительно,

$$\frac1a\approx6.67\,\text{м}^{-1},$$

тогда как поправки, связанные с глубиной и расстоянием между электродами, имеют порядок лишь

$$10^{-3}-10^{-2}\,\text{м}^{-1}.$$

Поэтому уже простая оценка

$$R\approx\frac{1}{2\pi\sigma a}$$

даёт

$$R\approx\frac{1}{2\pi\cdot4\cdot0.15}\approx0.265\,\Omega,$$

то есть практически тот же результат.

Глубина $60\,\text{м}$ нужна для проверки того, насколько хорошо электроды можно считать расположенными в почти бесконечной проводящей среде, а также для оценки поправки от поверхности вода–воздух.

Примечание

Сопротивление растекания **одного** сферического электрода относительно удалённой области проводящей среды равно

$$R_1=\frac{1}{4\pi\sigma a}.$$

Для данных задачи

$$R_1\approx0.133\,\Omega.$$

Именно такое значение получается, если учитывать только один электрод.

Однако в задаче требуется сопротивление **между двумя** далеко разнесёнными электродами. В первом приближении сопротивления растекания двух электродов складываются:

$$R\approx2R_1.$$

Следовательно,

$$R\approx0.265\,\Omega.$$

Поэтому значение порядка $0.13$–$0.14\,\Omega$ соответствует сопротивлению растекания одного шара, а не полному сопротивлению воды между двумя электродами.