Правка разделов «Решение(Требует пересмотра)», «Ответ», «Решение»

Valter правка от
Посмотреть решение История
правка #22232 предыдущая #20283 ← раньше позже →
ru/8.2.18.md +352 −2
@@ -1,14 +1,364 @@
### Условие
$8.2.18.$ Два электрода — металлические шары диаметра 30 см — висят в море на изолированных кабелях на глубине 60 м. Расстояние между шарами 300 м. Удельная проводимость морской воды 4 См/м. Оцените сопротивление воды между шарами.
+### Решение(Требует пересмотра)
+
+![ |2170x3140, 31%](../../img/8.2.18/scan-0.png)
+
+
+#### Ответ
+
+R = 0.13 Ом
+
### Решение
−![К задаче $8.2.18$ |2170x3140, 31%](../../img/8.2.18/scan-0.png)
+Обозначим радиус каждого металлического шара через $a$:
+$$
+a=\frac{30\,\text{см}}{2}=0.15\,\text{м}.
+$$
+Глубина расположения электродов равна
+$$
+h=60\,\text{м},
+$$
+
+расстояние между их центрами
+
+$$
+L=300\,\text{м},
+$$
+
+а удельная проводимость морской воды
+
+$$
+\sigma=4\,\text{См/м}.
+$$
+
+Необходимо найти электрическое сопротивление воды между двумя сферическими электродами.
+
+Поскольку размеры электродов малы по сравнению как с глубиной их расположения, так и с расстоянием между ними,
+
+$$
+a\ll h,\qquad a\ll L,
+$$
+
+каждый электрод можно в первом приближении рассматривать как точечный источник или сток электрического тока, сохраняя конечный радиус $a$ только при вычислении собственного потенциала электрода.
+
+---
+
+#### 1. Потенциал точечного источника тока в проводящей среде
+
+Пусть из небольшого сферического электрода в однородную проводящую среду выходит ток $I$.
+
+На расстоянии $r$ от центра электрода ток распределяется практически сферически. Поэтому плотность тока равна
+
+$$
+j(r)=\frac{I}{4\pi r^2}.
+$$
+
+Дифференциальный закон Ома имеет вид
+
+$$
+\mathbf j=\sigma\mathbf E.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+E(r)=\frac{j(r)}{\sigma}.
+$$
+
+Подставляя выражение для плотности тока, получаем
+
+$$
+E(r)=\frac{I}{4\pi\sigma r^2}.
+$$
+
+Потенциал относительно бесконечно удалённой точки равен
+
+$$
+\varphi(r)=\int_r^\infty E(r')\,dr'.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\varphi(r)=\frac{I}{4\pi\sigma}\int_r^\infty\frac{dr'}{r'^2}.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+\boxed{\varphi(r)=\frac{I}{4\pi\sigma r}}.
+$$
+
+Для сферического электрода радиуса $a$ собственный вклад в его потенциал равен
+
+$$
+\boxed{\varphi_{\text{self}}=\frac{I}{4\pi\sigma a}}.
+$$
+
+---
+
+#### 2. Учёт поверхности моря
+
+Морская вода занимает только нижнее полупространство, а над ней находится воздух, проводимость которого по сравнению с проводимостью воды пренебрежимо мала.
+
+Поэтому электрический ток не может выходить из воды через её поверхность. На границе вода–воздух нормальная составляющая плотности тока должна быть равна нулю:
+
+$$
+j_n=0.
+$$
+
+Так как
+
+$$
+\mathbf j=\sigma\mathbf E=-\sigma\nabla\varphi,
+$$
+
+это условие эквивалентно
+
+$$
+\frac{\partial\varphi}{\partial n}=0.
+$$
+
+Такое граничное условие можно удовлетворить методом зеркальных изображений.
+
+Для точечного источника тока, находящегося на глубине $h$, необходимо поместить относительно поверхности воды зеркальный источник **того же знака** на расстоянии $h$ над поверхностью.
+
+Следовательно, каждый реальный электрод имеет зеркальное изображение того же знака.
+
+---
+
+#### 3. Потенциал первого электрода
+
+Пусть первый электрод является источником тока $+I$, а второй — стоком тока $-I$.
+
+Рассмотрим потенциал первого электрода.
+
+Он складывается из четырёх вкладов:
+
+1. собственного поля первого электрода;
+2. поля его зеркального изображения;
+3. поля второго электрода;
+4. поля зеркального изображения второго электрода.
+
+Собственный вклад равен
+
+$$
+\varphi_{11}=\frac{I}{4\pi\sigma a}.
+$$
+
+Расстояние от первого электрода до его собственного зеркального изображения равно
+
+$$
+2h,
+$$
+
+поэтому вклад изображения равен
+
+$$
+\varphi_{1\,\text{im1}}=\frac{I}{4\pi\sigma\,2h}.
+$$
+
+Второй электрод находится на расстоянии $L$ и имеет противоположный знак тока, поэтому его вклад равен
+
+$$
+\varphi_{12}=-\frac{I}{4\pi\sigma L}.
+$$
+
+Расстояние от первого электрода до зеркального изображения второго равно
+
+$$
+\sqrt{L^2+(2h)^2}.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\varphi_{1\,\text{im2}}=-\frac{I}{4\pi\sigma\sqrt{L^2+4h^2}}.
+$$
+
+Суммарный потенциал первого электрода равен
+
+$$
+\varphi_1=\frac{I}{4\pi\sigma}\left(\frac1a+\frac1{2h}-\frac1L-\frac1{\sqrt{L^2+4h^2}}\right).
+$$
+
+---
+
+#### 4. Потенциал второго электрода
+
+Система симметрична: второй электрод имеет такой же модуль потенциала, но противоположный знак.
+
+Следовательно,
+
+$$
+\varphi_2=-\varphi_1.
+$$
+
+Поэтому разность потенциалов между электродами равна
+
+$$
+U=\varphi_1-\varphi_2=2\varphi_1.
+$$
+
+Получаем
+
+$$
+U=\frac{I}{2\pi\sigma}\left(\frac1a+\frac1{2h}-\frac1L-\frac1{\sqrt{L^2+4h^2}}\right).
+$$
+
+По определению сопротивления,
+
+$$
+R=\frac{U}{I}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{R=\frac{1}{2\pi\sigma}\left(\frac1a+\frac1{2h}-\frac1L-\frac1{\sqrt{L^2+4h^2}}\right)}.
+$$
+
+Это выражение учитывает как конечное расстояние между электродами, так и наличие поверхности моря.
+
+---
+
+#### 5. Численный расчёт
+
+Подставим
+
+$$
+a=0.15\,\text{м},
+$$
+
+$$
+h=60\,\text{м},
+$$
+
+$$
+L=300\,\text{м},
+$$
+
+$$
+\sigma=4\,\text{См/м}.
+$$
+
+Получаем
+
+$$
+R=\frac{1}{2\pi\cdot4}\left(\frac1{0.15}+\frac1{120}-\frac1{300}-\frac1{\sqrt{300^2+120^2}}\right).
+$$
+
+Вычислим отдельные слагаемые:
+
+$$
+\frac1{0.15}\approx6.6667\,\text{м}^{-1},
+$$
+
+$$
+\frac1{120}\approx0.00833\,\text{м}^{-1},
+$$
+
+$$
+\frac1{300}\approx0.00333\,\text{м}^{-1},
+$$
+
+$$
+\frac1{\sqrt{300^2+120^2}}\approx0.00309\,\text{м}^{-1}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+R\approx\frac{6.6667+0.00833-0.00333-0.00309}{8\pi}.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+\boxed{R\approx0.265\,\Omega}.
+$$
+
+То есть с требуемой точностью
+
+$$
+\boxed{R\approx0.27\,\Omega}.
+$$
+
+---
+
+#### 6. Почему глубина почти не влияет на ответ
+
+Главный вклад в сопротивление определяется областью непосредственно около поверхности каждого электрода.
+
+Действительно,
+
+$$
+\frac1a\approx6.67\,\text{м}^{-1},
+$$
+
+тогда как поправки, связанные с глубиной и расстоянием между электродами, имеют порядок лишь
+
+$$
+10^{-3}-10^{-2}\,\text{м}^{-1}.
+$$
+
+Поэтому уже простая оценка
+
+$$
+R\approx\frac{1}{2\pi\sigma a}
+$$
+
+даёт
+
+$$
+R\approx\frac{1}{2\pi\cdot4\cdot0.15}\approx0.265\,\Omega,
+$$
+
+то есть практически тот же результат.
+
+Глубина $60\,\text{м}$ нужна для проверки того, насколько хорошо электроды можно считать расположенными в почти бесконечной проводящей среде, а также для оценки поправки от поверхности вода–воздух.
+
+---
+
+#### Примечание
+
+Сопротивление растекания **одного** сферического электрода относительно удалённой области проводящей среды равно
+
+$$
+R_1=\frac{1}{4\pi\sigma a}.
+$$
+
+Для данных задачи
+
+$$
+R_1\approx0.133\,\Omega.
+$$
+
+Именно такое значение получается, если учитывать только один электрод.
+
+Однако в задаче требуется сопротивление **между двумя** далеко разнесёнными электродами. В первом приближении сопротивления растекания двух электродов складываются:
+
+$$
+R\approx2R_1.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+R\approx0.265\,\Omega.
+$$
+
+Поэтому значение порядка $0.13$–$0.14\,\Omega$ соответствует сопротивлению растекания одного шара, а не полному сопротивлению воды между двумя электродами.
+
#### Ответ
−R = 0.13 Ом
+$$
+\boxed{R\approx0.27\,\Omega}
+$$