Правка разделов «Решение», «Ответ»
ru/8.3.47.md
+36 −1
| ### Условие: | |||
| $8.3.47.$ Шар радиуса $a$ через сопротивление $R$ соединен с землей. Из бесконечности на него со скоростью $v$ налетает пучок электронов, число частиц в единице объема которого $n_e$. Определите предельный заряд шара. Считать скорость частиц большой (подумайте, по сравнению с какой величиной). | |||
|  | |||
| @@ -6,6 +6,41 @@Условие: | |||
| ### Решение: | |||
| + | Предельный заряд означает, что ток входящий в шар пучком электронов равен току выходящему из шара в заземление | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | nev\pi a^2 = \frac{kq}{aR}, | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | где $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. При этом заряде шара считаем скорость налета такая же $v$ (про это ниже). | ||
| + | |||
| + | Отсюда | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{q = 4\pi^2\varepsilon_0a^3en_eRv.} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | По закону сохранения для электрона энергия в бесконечности равна энергии у шара | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \frac{mv^2}{2} = \frac{kqe}{a} + \frac{mu^2}{2}. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Считаем скорость $v$ большой такой, что в этом равенстве $kqe/a \ll mv^2/2$, что позволяет считать $u \approx v$. | ||
| + | |||
| + | Тогда условие для скорости | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \frac{mv^2}{2} \gg \frac{kqe}{a}, | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | что дает | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{v \gg \frac{1}{m}2\pi a^2e^2nR \sim \frac{1}{m}a^2e^2nR.} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
|  | |||
| − | #### Ответ: $q=4\pi^2\varepsilon_0a^3en_eRv, | ||
| + | |||
| + | #### Ответ: $q=4\pi^2\varepsilon_0a^3en_eRv,\quad v\gg a^2e^2n_eR/m_e.$ | ||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $8.3.47.$ Шар радиуса $a$ через сопротивление $R$ соединен с землей. Из бесконечности на него со скоростью $v$ налетает пучок электронов, число частиц в единице объема которого $n_e$. Определите предельный заряд шара. Считать скорость частиц большой (подумайте, по сравнению с какой величиной). | $8.3.47.$ Шар радиуса $a$ через сопротивление $R$ соединен с землей. Из бесконечности на него со скоростью $v$ налетает пучок электронов, число частиц в единице объема которого $n_e$. Определите предельный заряд шара. Считать скорость частиц большой (подумайте, по сравнению с какой величиной). | ||
|  |  | ||
| @@ -6,6 +6,41 @@Условие: | |||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Предельный заряд означает, что ток входящий в шар пучком электронов равен току выходящему из шара в заземление | |||
| $$ | |||
| nev\pi a^2 = \frac{kq}{aR}, | |||
| $$ | |||
| где $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. При этом заряде шара считаем скорость налета такая же $v$ (про это ниже). | |||
| Отсюда | |||
| $$ | |||
| \boxed{q = 4\pi^2\varepsilon_0a^3en_eRv.} | |||
| $$ | |||
| По закону сохранения для электрона энергия в бесконечности равна энергии у шара | |||
| $$ | |||
| \frac{mv^2}{2} = \frac{kqe}{a} + \frac{mu^2}{2}. | |||
| $$ | |||
| Считаем скорость $v$ большой такой, что в этом равенстве $kqe/a \ll mv^2/2$, что позволяет считать $u \approx v$. | |||
| Тогда условие для скорости | |||
| $$ | |||
| \frac{mv^2}{2} \gg \frac{kqe}{a}, | |||
| $$ | |||
| что дает | |||
| $$ | |||
| \boxed{v \gg \frac{1}{m}2\pi a^2e^2nR \sim \frac{1}{m}a^2e^2nR.} | |||
| $$ | |||
|  |  | ||
| #### Ответ: $q=4\pi^2\varepsilon_0a^3en_eRv, |
|||
| #### Ответ: $q=4\pi^2\varepsilon_0a^3en_eRv,\quad v\gg a^2e^2n_eR/m_e.$ | |||