Правка раздела «Альтернативное решение»
ru/10.1.21.md
+22 −0
| ### Условие: | |||
| $10.1.21.$ Равномерно заряженное кольцо радиуса $R$, линейная плотность заряда которого $\rho$, движется соосно аксиально-симметричному магнитному полю со скоростью $v$. Радиальная составляющая индукции магнитного поля на расстоянии $R$ от оси равна $B_R$. Определите момент сил, действующих на кольцо. | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
| @@ -8,4 +8,26 @@Решение: | |||
|  | |||
| + | ### Альтернативное решение: | ||
| + | |||
| + | Полный заряд кольца: | ||
| + | |||
| + | $$q=2\pi R\rho \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | На каждый малый элемент кольца с зарядом $dq$, движущийся со скоростью $\vec\upsilon$ вдоль оси, действует сила Лоренца: | ||
| + | |||
| + | $$d\vec F=dq\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | В аксиально-симметричном поле вектор индукции имеет радиальную и осевую составляющие. Векторное произведение скорости и осевой составляющей поля равно нулю. Силу создает только радиальная составляющая. Она направлена по касательной к кольцу: | ||
| + | |||
| + | $$dF=dq\cdot\upsilon B_{R} \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Каждый элемент силы $dF$ действует на плечо $R$ относительно оси вращения, создавая момент: | ||
| + | |||
| + | $$dM=R\cdot dF=dq\cdot \upsilon B_{R}R \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Проинтегрировав это выражение по всему заряду кольца и используя (1), получаем ответ: | ||
| + | |||
| + | $$M=\upsilon B_{R}R \int dq=\upsilon B_{R}R\cdot (2\pi R\rho)=2\pi R^{2}\rho\upsilon B_{R}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ: $ M = 2\pi R^2\rho vB_R.$ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $10.1.21.$ Равномерно заряженное кольцо радиуса $R$, линейная плотность заряда которого $\rho$, движется соосно аксиально-симметричному магнитному полю со скоростью $v$. Радиальная составляющая индукции магнитного поля на расстоянии $R$ от оси равна $B_R$. Определите момент сил, действующих на кольцо. | $10.1.21.$ Равномерно заряженное кольцо радиуса $R$, линейная плотность заряда которого $\rho$, движется соосно аксиально-симметричному магнитному полю со скоростью $v$. Радиальная составляющая индукции магнитного поля на расстоянии $R$ от оси равна $B_R$. Определите момент сил, действующих на кольцо. | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| @@ -8,4 +8,26 @@Решение: | |||
|  |  | ||
| ### Альтернативное решение: | |||
| Полный заряд кольца: | |||
| $$q=2\pi R\rho \tag{1}$$ | |||
| На каждый малый элемент кольца с зарядом $dq$, движущийся со скоростью $\vec\upsilon$ вдоль оси, действует сила Лоренца: | |||
| $$d\vec F=dq\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{2}$$ | |||
| В аксиально-симметричном поле вектор индукции имеет радиальную и осевую составляющие. Векторное произведение скорости и осевой составляющей поля равно нулю. Силу создает только радиальная составляющая. Она направлена по касательной к кольцу: | |||
| $$dF=dq\cdot\upsilon B_{R} \tag{3}$$ | |||
| Каждый элемент силы $dF$ действует на плечо $R$ относительно оси вращения, создавая момент: | |||
| $$dM=R\cdot dF=dq\cdot \upsilon B_{R}R \tag{4}$$ | |||
| Проинтегрировав это выражение по всему заряду кольца и используя (1), получаем ответ: | |||
| $$M=\upsilon B_{R}R \int dq=\upsilon B_{R}R\cdot (2\pi R\rho)=2\pi R^{2}\rho\upsilon B_{R}$$ | |||
| #### Ответ: $ M = 2\pi R^2\rho vB_R.$ | #### Ответ: $ M = 2\pi R^2\rho vB_R.$ | ||