Альтернативное решение

Полный заряд кольца:

$$q=2\pi R\rho \tag{1}$$

На каждый малый элемент кольца с зарядом $dq$, движущийся со скоростью $\vec\upsilon$ вдоль оси, действует сила Лоренца:

$$d\vec F=dq\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{2}$$

В аксиально-симметричном поле вектор индукции имеет радиальную и осевую составляющие. Векторное произведение скорости и осевой составляющей поля равно нулю. Силу создает только радиальная составляющая. Она направлена по касательной к кольцу:

$$dF=dq\cdot\upsilon B_{R} \tag{3}$$

Каждый элемент силы $dF$ действует на плечо $R$ относительно оси вращения, создавая момент:

$$dM=R\cdot dF=dq\cdot \upsilon B_{R}R \tag{4}$$

Проинтегрировав это выражение по всему заряду кольца и используя (1), получаем ответ:

$$M=\upsilon B_{R}R \int dq=\upsilon B_{R}R\cdot (2\pi R\rho)=2\pi R^{2}\rho\upsilon B_{R}$$