$10.1.28.$ Определите минимальный радиус, который может иметь пучок электронов при переходе из поля с индукцией $B_1$ в поле с индукцией $B_2$. Оси симметрии переходного поля и пучка совпадают. Радиус пучка в поле $B_1$ равен $R$, скорость пучка в поле $B_1$ параллельна индукции.
### Решение
Будем пользоваться все тем же инвариантом.
В начале момент импульса равен нулю.
Теперь по говорим об условии минимума ширины, очевидно, что раз это минимум, радиальная компонента скорости равна 0. Но также условием минимума является и то что продольная скорость равна 0 ведь мы рассматриваем граничный случай, когда после перехода пучок остается сфокусированным, значит:
$$\frac{eB_1R^2}{2} = \frac{eB_2r^2}{2}$$
$$r = R\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$$
@@ -16,6 +16,41 @@Решение
У Савченко, видимо, опечатка.
+
### Альтернативное решение
+
+
Представим мысленный проводящий контур в виде кольца на границе пучка. Когда пучок переходит из поля $B_{1}$ в поле $B_{2}$, магнитный поток через это кольцо меняется от $\Phi_{1}=B_{1}\cdot\pi R^{2}$ до $\Phi_{2}=B_{2}\cdot\pi r^{2}$.
+
+
По закону Фарадея, изменение потока создает вихревое электрическое поле. Работа этого поля идёт на закручивание электрона вдоль магнитных линий. В задаче $10.1.26$ была доказана формула изменения момента импульса электрона:
Поскольку скорость пучка в поле $B_{1}$ параллельна индукции, то в этой области $L_{1}=0$ - электроны не вращаются. А в области поля $B_{2}$ электроны преобритают вращательную скорость $\upsilon_{\theta}$. Момент импульса станет равным $L_{2}=m\upsilon_{\theta}r$. Подставим всё в (1):
Критерием минимального радиуса будет то условие, что радиальная скорость сжатия пучка станет равной 0 и так как магнитное поле работы не совершает, то вся кинетическая энергия продольного движения электронов должна перейти в энергию вращательного движения.
+
+
В этой точке сила Лоренца и центробежная сила должны обеспечивать радиальное равновесие, чтобы пучок не расширялся обратно:
$10.1.28.$ Определите минимальный радиус, который может иметь пучок электронов при переходе из поля с индукцией $B_1$ в поле с индукцией $B_2$. Оси симметрии переходного поля и пучка совпадают. Радиус пучка в поле $B_1$ равен $R$, скорость пучка в поле $B_1$ параллельна индукции.
$10.1.28.$ Определите минимальный радиус, который может иметь пучок электронов при переходе из поля с индукцией $B_1$ в поле с индукцией $B_2$. Оси симметрии переходного поля и пучка совпадают. Радиус пучка в поле $B_1$ равен $R$, скорость пучка в поле $B_1$ параллельна индукции.
### Решение
### Решение
Будем пользоваться все тем же инвариантом.
Будем пользоваться все тем же инвариантом.
В начале момент импульса равен нулю.
В начале момент импульса равен нулю.
Теперь по говорим об условии минимума ширины, очевидно, что раз это минимум, радиальная компонента скорости равна 0. Но также условием минимума является и то что продольная скорость равна 0 ведь мы рассматриваем граничный случай, когда после перехода пучок остается сфокусированным, значит:
Теперь по говорим об условии минимума ширины, очевидно, что раз это минимум, радиальная компонента скорости равна 0. Но также условием минимума является и то что продольная скорость равна 0 ведь мы рассматриваем граничный случай, когда после перехода пучок остается сфокусированным, значит:
$$\frac{eB_1R^2}{2} = \frac{eB_2r^2}{2}$$
$$\frac{eB_1R^2}{2} = \frac{eB_2r^2}{2}$$
$$r = R\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$$
$$r = R\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$$
@@ -16,6 +16,41 @@Решение
У Савченко, видимо, опечатка.
У Савченко, видимо, опечатка.
### Альтернативное решение
Представим мысленный проводящий контур в виде кольца на границе пучка. Когда пучок переходит из поля $B_{1}$ в поле $B_{2}$, магнитный поток через это кольцо меняется от $\Phi_{1}=B_{1}\cdot\pi R^{2}$ до $\Phi_{2}=B_{2}\cdot\pi r^{2}$.
По закону Фарадея, изменение потока создает вихревое электрическое поле. Работа этого поля идёт на закручивание электрона вдоль магнитных линий. В задаче $10.1.26$ была доказана формула изменения момента импульса электрона:
Поскольку скорость пучка в поле $B_{1}$ параллельна индукции, то в этой области $L_{1}=0$ - электроны не вращаются. А в области поля $B_{2}$ электроны преобритают вращательную скорость $\upsilon_{\theta}$. Момент импульса станет равным $L_{2}=m\upsilon_{\theta}r$. Подставим всё в (1):
Критерием минимального радиуса будет то условие, что радиальная скорость сжатия пучка станет равной 0 и так как магнитное поле работы не совершает, то вся кинетическая энергия продольного движения электронов должна перейти в энергию вращательного движения.
В этой точке сила Лоренца и центробежная сила должны обеспечивать радиальное равновесие, чтобы пучок не расширялся обратно:
