<h3 id="back-link"><a href="/#6">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$5.6.22^*.$ В откачанном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массы $M$. Под поршнем находится одноатомный газ при температуре $T$ и давлении $P$. Внутреннее сечение цилиндра $S$, высота той части сосуда, внутри которой находится газ, $H$. Поршень отпустили. Он начал двигаться. Чему равна максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически? адиабатически?
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="180" />
<figcaption>
К задаче 5.6.22
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p>
a) Из закона сохранения энергии или теоремы о кинетической энергии и работе
$$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \\;(1)$$
где $A$ - работа, совершенная над поршнем, равная работе, совершенной газом, которая в данном случае (изотермический процесс) определяется как
$$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \\;(2)$$
Подставляя $(2)$ в $(1)$
$$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \\;(3)$$
Из закона Бойля-Мариотта
$$PSH = P'Sy \\;(4)$$
Применение уравнения состояния к начальному состоянию,
$$n = \frac{PSH}{RT} \\;(5)$$
$$PSH = nRT$$
Применение второго закона Ньютона
$$Mg - P(t)S = M\frac{dv}{dt}$$
В момент максимальной скорости $dv/dt = 0$ и $P(t) = P'$, следовательно
$$Mg = P'S \\;(6)$$
Подставляя $(6)$ в $(4)$ и выражая $y$
$$y = \frac{PSH}{Mg} \\;(7)$$
Подставляя $(5)$ и $(7)$ в $(3)$ и выделяя $v$
$$\boxed{v = \sqrt{2gH\left(1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln{\frac{PS}{Mg}}\right)}}$$
b) Из закона Пуассона
$$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma \\;(8)$$
Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, равна
$$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma-1} \\;(9)$$
Согласно $(6)$, мы можем модифицировать $(8)$ и выразить $y$, получив
$$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \\;(10)$$
Подставляем $(9)$ в $(1)$ и учитываем $(6)$,
<div class="scroll-wrapper">
$$\frac{Mv^2}{2} = H\left(Mg+\frac{PS}{\gamma-1}\right)-Mgy\left(1+\frac{1}{\gamma-1}\right) \\;(11)$$
</div>
Подставляя $(10)$ в $(11)$, поскольку газ одноатомный ($i = 3$ и $\gamma = 5/3$), и отделяя $v$
$$\boxed{v = \sqrt{2gH\left[1-\frac{5}{2}\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg}\right]}}$$
</p>
<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
BSc. Luis Daniel Fernández Quintana<br>
Physics Department (FCNE)<br>
Universidad de Oriente, Cuba<br>
</p>
