| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }) | | }) |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center"> | | <header style="text-align:center"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| <p> | | <p> |
| $2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $α$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения? | | $2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $α$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения? |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw1.png" | | <img src="draw1.png" |
| loading="lazy" width="350" /> | | loading="lazy" width="350" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на мотоцикл | | Силы действующие на мотоцикл |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Изобразим силы, действующие на мотоцикл (см. рис. верхний), и запишем второй закон Ньютона | | Изобразим силы, действующие на мотоцикл (см. рис. верхний), и запишем второй закон Ньютона |
| $$\vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{\text{тр}} = m\vec{a}.$$ | | $$\vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{\text{тр}} = m\vec{a}.$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| В проекции на оси: | | В проекции на оси: |
| $$Ox: \quad F_{\text{тр}} = ma;$$ | | $$Ox: \quad F_{\text{тр}} = ma;$$ |
| $$Oy: \quad N - mg = 0.$$ | | $$Oy: \quad N - mg = 0.$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Учитывая, что при движении по окружности $ a = \frac{v^2}{R} $, сила трения равна $ F_{\text{тр}} = \mu N $, | | Учитывая, что при движении по окружности $ a = \frac{v^2}{R} $, сила трения равна $ F_{\text{тр}} = \mu N $, |
| получаем, что максимальная скорость движения мотоциклиста равна | | получаем, что максимальная скорость движения мотоциклиста равна |
| $$\boxed{v = \sqrt{\mu g R}}$$ | | $$\boxed{v = \sqrt{\mu g R}}$$ |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw2.png" | | <img src="draw2.png" |
| loading="lazy" width="350" /> | | loading="lazy" width="350" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на мотоцикл при повороте | | Силы действующие на мотоцикл при повороте |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| При повороте мотоциклист отклоняется к центру окружности на некоторый угол (см. рис. нижний). Тогда по второму закону Ньютона | | При повороте мотоциклист отклоняется к центру окружности на некоторый угол (см. рис. нижний). Тогда по второму закону Ньютона |
| $$\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$$ | | $$\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$$ |
| $$Ox: \quad N \sin \beta = ma;$$ | | $$Ox: \quad N \sin \beta = ma;$$ |
| $$Oy: \quad N \cos \beta = mg.$$ | | $$Oy: \quad N \cos \beta = mg.$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Откуда | | Откуда |
| $$\tan \beta = \frac{a}{g} = \frac{\mu g}{g}$$ | | $$\tan \beta = \frac{a}{g} = \frac{\mu g}{g}$$ |
| $$\boxed{\beta = \arctan \mu}$$ | | $$\boxed{\beta = \arctan \mu}$$ |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw3.png" | | <img src="draw3.png" |
| loading="lazy" width="180" /> | | loading="lazy" width="180" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Рассмотрим движение велосипедиста по горизонтальному треку (рис.). | | Рассмотрим движение велосипедиста по горизонтальному треку (рис.). |
| </p> | | </p> |
| <p>На велосипедиста действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$. | | <p>На велосипедиста действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$. |
| </p> | | </p> |
| <p>Центростремительное ускорение велосипедиста может сообщить здесь только сила трения покоя, направленная по радиусу окружности к центру $О$ и возникающая в том случае, когда велосипедист наклоняется к центру окружности. | | <p>Центростремительное ускорение велосипедиста может сообщить здесь только сила трения покоя, направленная по радиусу окружности к центру $О$ и возникающая в том случае, когда велосипедист наклоняется к центру окружности. |
| </p> | | </p> |
| <p>Равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр} \Rightarrow \vec{F} = \vec{F}_{тр} + \vec{N}$ проходит через центр тяжести велосипедиста, и в противном случае существовал бы опрокидывающий момент сил. | | <p>Равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр} \Rightarrow \vec{F} = \vec{F}_{тр} + \vec{N}$ проходит через центр тяжести велосипедиста, и в противном случае существовал бы опрокидывающий момент сил. |
| </p> | | </p> |
| <p>По второму закону Ньютона для проекции на радиальное направление X $F_{тр} = ma_{n} = m \frac{v^{2}}{R}$, где $v$ - скорость движения велосипедиста. | | <p>По второму закону Ньютона для проекции на радиальное направление X $F_{тр} = ma_{n} = m \frac{v^{2}}{R}$, где $v$ - скорость движения велосипедиста. |
| </p> | | </p> |
| <p>Так как сила трения покоя $F_{тр} \leq \mu N = \mu mg$, то получаем неравенство | | <p>Так как сила трения покоя $F_{тр} \leq \mu N = \mu mg$, то получаем неравенство |
| $$m \frac{v^{2}}{R} \leq \mu mg$$ | | $$m \frac{v^{2}}{R} \leq \mu mg$$ |
| $$v^{2} \leq \mu gR \Rightarrow v \leq \sqrt{\mu gR}$$ | | $$v^{2} \leq \mu gR \Rightarrow v \leq \sqrt{\mu gR}$$ |
| максимальное значение скорости на горизонтальном треке $v_{1} = \sqrt{\mu gR}$. | | максимальное значение скорости на горизонтальном треке $v_{1} = \sqrt{\mu gR}$. |
| </p> | | </p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw4.png" | | <img src="draw4.png" |
| loading="lazy" width="180" /> | | loading="lazy" width="180" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Рассмотрим движение велосипедиста по наклонному треку. Действующие на него силы изображены на рис. ($\vec{F}$ - равнодействующая сил реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{тр}$). По второму закону Ньютона для проекций на оси X и Y: | | Рассмотрим движение велосипедиста по наклонному треку. Действующие на него силы изображены на рис. ($\vec{F}$ - равнодействующая сил реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{тр}$). По второму закону Ньютона для проекций на оси X и Y: |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| по оси Y $N \cos \alpha - F_{тр} \sin \alpha - mg = 0$ (1) | | по оси Y $N \cos \alpha - F_{тр} \sin \alpha - mg = 0$ (1) |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| по оси X $N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ | | по оси X $N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| ($v$ - скорость движения по наклонному треку). Перепишем систему в виде: | | ($v$ - скорость движения по наклонному треку). Перепишем систему в виде: |
| | | |
| $$\begin{cases} N \cos \alpha - F_{тр} \sin \alpha = mg, (1') \\ N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases}$$ | | $$\begin{cases} N \cos \alpha - F_{тр} \sin \alpha = mg, (1') \\ N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos \alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin \alpha$: | | Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos \alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin \alpha$: |
| $$\begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin \alpha = mg \cos \alpha, \\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos \alpha \sin \alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha. \end{cases}$$ | | $$\begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin \alpha = mg \cos \alpha, \\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos \alpha \sin \alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha. \end{cases}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| После сложения получим | | После сложения получим |
| $$N(\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha ) = mg \cos \alpha + m \frac{v^{2}}{R} $$ | | $$N(\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha ) = mg \cos \alpha + m \frac{v^{2}}{R} $$ |
| $$N = m \left ( g \cos \alpha + \frac{v^{2}}{R} \right )$$ | | $$N = m \left ( g \cos \alpha + \frac{v^{2}}{R} \right )$$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Умножим $(1')$ на $\sin \alpha$, а $(2')$ - на $\cos \alpha$, тогда | | Умножим $(1')$ на $\sin \alpha$, а $(2')$ - на $\cos \alpha$, тогда |
| | | |
| $$\begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin \alpha = mg \cos \alpha, \\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos \alpha \sin \alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha. \end{cases}$$ | | $$\begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin \alpha = mg \cos \alpha, \\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos \alpha \sin \alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha. \end{cases}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| После вычислений найдем | | После вычислений найдем |
| $$F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin \alpha \right )$$ | | $$F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin \alpha \right )$$ |
| Так как $F_{тр}$ - сила трения покоя, то | | Так как $F_{тр}$ - сила трения покоя, то |
| $$F_{тр} \leq \mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R} \cos \alpha - g \sin \alpha \right ) \leq \mu m \left ( g \cos \alpha + \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha \right )$$ | | $$F_{тр} \leq \mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R} \cos \alpha - g \sin \alpha \right ) \leq \mu m \left ( g \cos \alpha + \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha \right )$$ |
| $$ \frac{v^{2}}{R} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) \leq g ( \mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$ | | $$ \frac{v^{2}}{R} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha) \leq g ( \mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$ |
| Разделим обе части на $\cos \alpha$ (из условия $\cos \alpha > 0$). | | Разделим обе части на $\cos \alpha$ (из условия $\cos \alpha > 0$). |
| | | |
| $$\frac{v^{2}}{R} (1 - \mu tg \alpha ) \leq g( \mu + tg \alpha)$$ | | $$\frac{v^{2}}{R} (1 - \mu tg \alpha ) \leq g( \mu + tg \alpha)$$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Если $(1 - \mu tg \alpha) > 0$, то $v^{2} \leq \frac{gR( \mu + tg \alpha)}{1 - \mu tg \alpha}$, или $v \leq \sqrt{ \frac{gR( \mu + tg \alpha)}{1 - \mu tg \alpha}}$ | | Если $(1 - \mu tg \alpha) > 0$, то $v^{2} \leq \frac{gR( \mu + tg \alpha)}{1 - \mu tg \alpha}$, или $v \leq \sqrt{ \frac{gR( \mu + tg \alpha)}{1 - \mu tg \alpha}}$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Значит максимальная скорость при движении по наклонному треку | | <p>Значит максимальная скорость при движении по наклонному треку |
| $$v_{2} = \sqrt{ \frac{gR ( \mu + tg \alpha)}{1 - \mu tg \alpha}}$$ | | $$v_{2} = \sqrt{ \frac{gR ( \mu + tg \alpha)}{1 - \mu tg \alpha}}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Отношение | | Отношение |
| $$\boxed{\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{ \frac{ \mu + tg \alpha}{ \mu (1 - tg \alpha)}}}$$ | | $$\boxed{\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{ \frac{ \mu + tg \alpha}{ \mu (1 - tg \alpha)}}}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 16;"><a href="https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-3048">earthz.ru</a></p> | | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 16;"><a href="https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-3048">earthz.ru</a></p> |
| <h3> Ответ: </h3> | | <h3> Ответ: </h3> |
| <p> | | <p> |
| $$v=\sqrt{\mu gR}$$ | | $$v=\sqrt{\mu gR}$$ |
| $$\beta=\arctan \mu$$ | | $$\beta=\arctan \mu$$ |
| $$\frac{u}{v}=\sqrt{\frac{\mu+\operatorname{tg}\alpha}{\mu(1-\mu\operatorname{tg}\alpha)}}$$ | | $$\frac{u}{v}=\sqrt{\frac{\mu+\operatorname{tg}\alpha}{\mu(1-\mu\operatorname{tg}\alpha)}}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |