| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> | | <meta name="description" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> |
| <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> | | <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> |
| <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> | | <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> |
| <meta property="og:title" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> | | <meta property="og:title" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> | | <meta property="og:description" content="Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. "> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. </title> | | <title>Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m. </title> |
| <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| $3.1.1.$ Посередине натянутой струны | | $3.1.1.$ Посередине натянутой струны |
| длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная | | длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная |
| сила действует на шар со стороны струны, | | сила действует на шар со стороны струны, |
| если поперечное смещение его из положения | | если поперечное смещение его из положения |
| равновесия $x \ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать | | равновесия $x \ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать |
| зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта | | зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта |
| сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия | | сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия |
| шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$. | | шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$. |
| | | |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="3.1.1.png" | | <img src="3.1.1.png" |
| loading="lazy" width="300" /> | | loading="lazy" width="300" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче $3.1.1$ | | К задаче $3.1.1$ |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3>Решение</h3> | | <h3>Решение</h3> |
| <p> | | <p> |
| Помимо силы тяжести $mg$ на шар действуетсила натяжения струны $F$, которая имеет вертикальную компоненту $F'$: | | Помимо силы тяжести $mg$ на шар действуетсила натяжения струны $F$, которая имеет вертикальную компоненту $F'$: |
| $$F'=-2Fcos\alpha=-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\quad(1)$$ | | $$F'=-2Fcos\alpha=-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\quad(1)$$ |
| Т.к. колебания малые, учтем, что $x\ll l$ | | Т.к. колебания малые, учтем, что $x\ll l$ |
| $$\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}$$ | | $$\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}$$ |
| Т.к. $x\ll l$, то $\frac{l^2}{x^2} \gg 1$: | | Т.к. $x\ll l$, то $\frac{l^2}{x^2} \gg 1$: |
| $$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{x}{l}$$ | | $$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{x}{l}$$ |
| Подставляя в $(1)$ | | Подставляя в $(1)$ |
| $$\boxed{F'=-2F\frac{x}{l}}$$ | | $$\boxed{F'=-2F\frac{x}{l}}$$ |
| Найдём малое изменение энергии как | | Найдём малое изменение энергии как |
| $$dU=2Fcos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}=2F\frac{x}{l}dx$$ | | $$dU=2Fcos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}=2F\frac{x}{l}dx$$ |
| Далее, проинтегрируем $dU$ от $0$ до $U$ | | Далее, проинтегрируем $dU$ от $0$ до $U$ |
| $$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}2F\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{Fx^2}{l}}$$ | | $$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}2F\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{Fx^2}{l}}$$ |
| Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении | | Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении |
| $$\frac{Fx_0^2}{l}=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \boxed{\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}}$$ | | $$\frac{Fx_0^2}{l}=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \boxed{\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h4>Ответ</h4> | | <h4>Ответ</h4> |
| <p> | | <p> |
| $$\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}$$ | | $$\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> | | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> |
| Dzikan Mikita<br> | | Dzikan Mikita<br> |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |
