Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.40.$ Лента горизонтального транспортера движется со скоростью $u$. На ленту по касательной к ней влетает шайба, начальная скорость $v$ которой перпендикулярна краю ленты. Найдите максимальную ширину ленты, при которой шайба достигнет другого ее края, если коэффициент трения между шайбой и лентой $\mu$.
   </p>

    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
          К задаче 2.1.40
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>

    <center>
      <figure>
        <img src="sol.png"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
          Движение шайбы по ленте
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

     <p>
      1. Ускорение шайбы определится уравнением второго закона Ньютона:
      $$\mu mg=ma$$
      $$a=\mu g$$
      2. При ширине ленты транспортёра $d$ шайба ввиду движения ленты пройдёт равнозамедленно расстояние $x$. Из подобия прямоугольных треугольников, полученных на векторах заданных скоростей и геометрических параметрах движения шайбы найдем соотношение:
      $$\frac{d}{x} =\frac{v}{v_0}$$
      $$\frac{d}{x} =\frac{v}{\sqrt{v^2+u^2}}$$
      $$d =x \frac{v}{\sqrt{v^2+u^2}}$$
      3. Расстояние, проходимое шайбой $x$ найдём из кинематики:
      $$\left\{\begin{matrix}
      v=v_0-at & \\ 
      x=v_0t-\frac{at^2}{2} & 
      \end{matrix}\right.$$
      $$v=0\Rightarrow t=\frac{v_0}{a}=\frac{\sqrt{v^2+u^2}}{\mu g}$$
      $$x=\frac{v^2+u^2}{\mu g}-\frac{v^2+u^2}{2\mu g}=\frac{v^2+u^2}{2\mu g}$$
      4. Подставим далее значение $x$ в уравнение для $d$
      $$\boxed{d = v\frac{\sqrt{v^2+u^2}}{2\mu g}}$$
    </p>

     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
      $$d =\frac{v}{2\mu g} \sqrt{v^2+u^2}$$ 
     </p>

     
<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>